Модуль вектора. Операция поворота вектора на угол P/2

6 7 8 9 10 11 12

Рис. 12.

по правилу треугольника

В силу теоремы получаем:

Деление отрезка в данном отношении

Известны координаты т. А и В в некоторой АСК.

Дано: АСК;

Рис. 13.

Найти: =?

Получаем

3.2. Модуль вектора. Операция поворота вектора на угол P/2

Вычисление длины вектора по его координатам

Длина вектора

Вычислить длины векторов , , и . , , , .

Задача. Найти длину медианы , треугольника , если , , .

Решение.

Рис. 14

Ответ:.

2.3. Скалярное и косое произведение векторов

Задание 1.

Найдите скалярное произведение векторов a и b.

Рис.15

Скалярное произведение векторов мы можем найти по одной из двух формул:

Угол между векторами неизвестен, но мы без труда можем найти координаты векторов и далее воспользоваться первой формулой. Так как начала обоих векторов совпадают с началом координат, то координаты данных векторов равны координатам их концов, то есть

Вычисляем:

Ответ: 40

Задание 2.

Рис. 16

Найдём координаты векторов и воспользуемся формулой:

Чтобы найти координаты вектора необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала, значит

Вычисляем скалярное произведение:

Ответ: 40

Задание 3. Найдите угол между векторами a и b. Ответ дайте в градусах.

Рис. 17

Пусть координаты векторов имеют вид:

Для нахождения угла между векторами используем формулу скалярного произведения векторов:

Косинус угла между векторами:

Следовательно:

Координаты данных векторов равны:

Подставим их в формулу:

Наряду со скалярным произведением, которое задаётся формулой a⋅b=|a||b|cosφ, рассматривается также произведение, называемое косым, или псевдоскалярным, которое мы будем обозначать в виде a∘b=|a||b|sinφ. Угол здесь рассматривается ориентированный, поэтому из определения сразу следует, что a∘b=−b∘a

Связано это с тем, что синус - функция нечётная, и он меняет знак при смене знака угла, в отличие от косинуса.

Геометрический смысл косого произведения понятен: это ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.

Условие

Три бегуна A, B и C бегут по параллельным дорожкам с постоянными скоростями. В начальный момент площадь треугольника ABC равна 2, через 5 с равна 3. Чему может быть она равна еще через 5 с?

Решение

Пусть в начальный момент, т. е. при t = 0, = v и = w. Тогда в момент t получим = v + t (b - a) и = w + t (c - a), где a, b и c — векторы скоростей бегунов A, B и C. Так как векторы a, b и c параллельны, то (b - a) (c - a) = 0, а значит, | S (A, B, C)| = | |/2 = | x + yt |, где x и y — некоторые постоянные числа. Решая систему | x | = 2, | x + 5 y | = 3, получаем два решения, дающие для зависимости площади треугольника ABC от времени t выражения | 2 + (t /5)| и | 2 - t |. Поэтому при t = 10 площадь может принимать значения 4 и 8.

Условие

По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Решение

Пусть v (t) и w (t) — векторы, соединяющие первого пешехода со вторым и третьим в момент t. Ясно, что v (t) = t a + b и w (t) = t c + d. Пешеходы находятся на одной прямой тогда и только тогда, когда v (t)| w (t), т. е. v (t) w (t) = 0. Функция f (t) = v (t) w (t) = t ² a c + t (a d + b c) + b d является квадратным трехчленом, причем f (0) 0. Квадратный трехчлен, не равный тождественно нулю, имеет не более двух корней.

Условие

а) Докажите, что S (A, B, C) = - S (B, A, C) = S (B, C, A).
б) Докажите, что для любых точек A, B, C и D справедливо равенство S (A, B, C) = S (D, A, B) + S (D, B, C) + S (D, C, A).