2.4. Динамика колебательного движения
Рассмотрим динамику колебательного движения на примере колебания груза массой m, подвешенного к пружине (рис 2.6). В состоянии равновесия, сила тяжести груза уравновешивается силой упругости пружины . Для выбранного направления оси х:
,
Fупр =mg,
где Fупр = kΔl (закон Гука), Δl=l-l0 , l0 – длина пружины без груза.
Выведем груз из положения равновесия и дадим ему возможность двигаться вдоль оси Х. Под действием сил тяжести и упругости груз будет совершать движение с ускорением а согласно уравнениям:
(2.16)
Введём обозначение , тогда
. (2.17)
Равенство (2.17) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний. Координата смещения груза относительно его положения равновесия, определяется из решения уравнения (2.17) и равна
(2.18)
где А – амплитуда (максимального смещения груза от положения равновесия),
- циклическая частота, - фаза колебания,- начальная фаза колебания.
Период колебания
(2.19)
частота . (2.20)
Если груз колеблется в среде, то он испытывает ее сопротивление.
|
|
При малых смещениях груза от положения равновесия сила сопротивления
, (2.21)
где r– коэффициент сопротивления. Среды, v – скорость движения груза
С учетом силы сопротивления дифференциальное уравнение движения груза имеет вид
. (2.22)
Разделим обе части уравнения (2.22) на m, перенесем все слагаемые умножим на 1 в левую часть и введем обозначения ,, тогда
(2.23)
где - коэффициент затухания.
В результате решения дифференциального уравнения (2.23) координата смещения груза
(2.24)
где и - амплитуда колебаний и фаза в момент времени t=0,
- циклическая частота затухающих колебаний (рис 2.7).
Затухающие колебания не являются гармоническими, так как амплитуда этих колебаний убывает по экспоненциальному закону
. (2.25)
Циклическая частота ω и период Т затухающих колебаний определяются из соотношений:
, (2.26)
(2.27)
где ω0 частота свободных колебаний тела.
Период определённый из последнего соотношения называется условным периодом затухающих колебаний.
Условный период затухающих колебаний – наименьший промежуток времени Т, за который груз дважды проходит через положение равновесия, двигаясь в одном и том же направлении.
Период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний.
Отношение двух амплитуд затухающих колебаний в моменты времени t и
(2.28)
называется декрементом затухания. Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания
(2.29)
Логарифмический декремент затухания характеризует затухание колебаний за период, а коэффициент затухания за единицу времени.
|
|
Время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз называется временем релаксации τ.
,
(2.30)
Коэффициент затухания – это величина, обратная времени релаксации и определяет число колебаний за единицу времени.
За время τ система совершит колебаний.
Логарифмический декремент затухания равен обратному числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.
(2.31)
Если на груз, кроме упругой силы и силы сопротивления, будет действовать внешняя периодическая сила, то он будет совершать вынужденные колебания.
При внешней силе дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид
, (2.32)
В результате решения дифференциального уравнения (2.32) координаты смещения груза х = х1 + х2,
где - соответствует затухающему колебанию,
- вынужденному.
Затухающие колебания происходят в начальный момент времени и их амплитуда уменьшается с течением времени.
Поэтому в результате действия внешней периодической силы долгое время совершаются колебания
(2.33)
где , (2.34)
(2.35)
Амплитуда колебаний зависит от частот внешней силы Ω и свободных колебаний ω 0.
Для Ω << ω 0,
, (2.36)
Ω >> ω0,
, (2.37)
.
Для частоты внешней силы
(2.38)
наступает резонанс, когда амплитуда максимальна и зависит от коэффициента затухания и частоты свободных колебаний
(2.39)