Матрицы. Операции над матрицами. Ранг матрицы

Матрицей называется прямоугольная таблица специального вида.

Обозначается большими латинскими буквами. Если в матрице m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размеры mxn. Элементы матриц обозначают соответствующие малые буквы с двумя нижними индексами: первый – номер строки, второй – столбца.

Если количество строк и количество столбцов в матрице одинаково, то такая матрица называется квадратной, а число строк – ее порядком. Например: - квадратная матрица второго порядка.

Матрица, состоящая из одной строки (столбца) называется вектором-строкой, (вектором-столбцом). Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Главной (побочной) диагональю квадратной матрицы называется диагональ, проведенная из левого верхнего угла в правый нижний (из правого верхнего угла в левый нижний). Квадратная матрица называется единичной, если по ее главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы =0. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы вне главной диагонали =0. Квадратная матрица называется скалярной, если все элементы вне главной диагонали =0, а все элементы главной диагонали = между собой. Квадратная матрица называется верхнетриугольной (нижнетриугольной), если все элементы, находящиеся ниже (выше) главной диагонали =0. Матрица, которая является и верхнетриугольной и нижнетриугольной будет диагональной.

Операции над матрицами:

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны.

1. Умножение матрицы на число: Умножать на число можно матрицу любого размера. При этом получая матрицу такого же размера. Все элементы исходящей матрицы умножаем на данное число.

2. Сложение матриц: Складывать можно матрицы одинакового размера. В результате получается матрица такого же размера. Матрицы складываются покомпонентно:А_mxn+B_mxn=C_mxn

3. Линейные операции:

1. Асоциативность: (А+В)+С=А+(В+С)

2. Свойство существования нейтрального элемента: А+ =В+ =А

3. Существование противоположного элемента: А+(-А)= .

4. Комутативность: А+В=В+А.

5. 1*А=А. 7.

6. Дистрибутивность: . 8.

4. Умножение матриц: Умножать матрицу А на матрицу В можно только тогда, когда количество столбцов матрицы А = количеству строк матрицы В. Произведение матрицы А и В называется матрица С, такая, что для любого i, j, элементы матрицы С_ij = произведению i-ой строки матрицы А на j-ый столбец матрицы В: А_mxnB_nxk=C_mxk.

5. Обратная матрица: На множестве матриц нет операции деления. Частично эту операцию можно заменить на умножение на обратную матрицу. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А, если АхВ=ВхА=Е. В=А^-1.

А= А^-1= А*А^-1=

Если к матрице существует обратная, то она единственная. Вычислить обратную матрицу можно еще и с помощью формулы: А^-1= (с помощью союзной).

Рангом матрицы называется ранг ее системы строк (или столбцов): А= rangА=1.

Ранг матрицы равен количеству не нулевых строк после приведения ее к ступенчатому виду с помощью элементарного преобразования.