Тема 9 Элементы теории групп

18 19 20 21 22 23 24

Корни полиномов. Схема Горнера

Алгоритм Евклида

Применяя последовательно теорему о делении с остатком, получим:

……………………………

где () – частные, а () – остатки.

Теорема 8.3: .

Определение 8.7: Число называется корнем полинома , если .

Теорема 8.4: – корень тогда и только тогда, когда .

Пусть и

где , , тогда по схеме Горнера:

, , .

Определение 8.8: Если и , то есть , а , то называется корнем кратности полинома .

Если , то говорят, что – простой корень .

Определение 8.9: Пусть , тогда называется производной полинома .

Выполняются обычные правила дифференцирования суммы и произведения.

Теорема 8.5: Число является корнем кратности для тогда и только тогда, когда – корень кратности для .

Непрерывность полиномов как функций комплексного переменного

Определение 8.10: Функция , действующая из в называется непрерывной в точке , если такое, что из неравенства следует: , .

Определение 8.11: Функция, непрерывная в произвольной точке называется непрерывной.

Лемма: Пусть , . Тогда такое, что из неравенства следует, что .

Теорема 8.6: Полином является непрерывной функцией комплексного переменного .

Следствие: является непрерывной функцией комплексного переменного.

Лемма о модуле старшего члена полинома: Пусть дан полином -ой степени, . , тогда для любого существует такое, что , если .

Лемма о возрастании модуля полинома: Если – полином степени , то для любого существует такое, что при .

Лемма Даламбера: Если – полином степени и , то существует такое, что .

Теорема 8.7: Если функция действует из в и непрерывна в замкнутом круге на комплексной плоскости, то достигает в этом круге свое минимальное значение, то есть существует из круга такое, что для всех из круга.

Основная теорема высшей алгебры: Для любого полинома степени существует хотя бы один комплексный корень.

Следствие 1: Если – полином степени , то существуют комплексные числа , такие, что , (могут повторяться).

Следствие 2: Любой полином степени имеет ровно корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Следствие 3: Два полинома и равны (по определению 8.2) тогда и только тогда, когда для любого .

Следствие 4 (формула Виета):

Пусть , , – корни полинома, тогда

……………………………………………….

Например, при , получаем:

Следствие 5: Если – полином с вещественными коэффициентами и , то .

Следствие 6: Всякий полином с вещественными коэффициентами можно разложить на произведение полиномов первой и второй степени с вещественными коэффициентами.

Определение 9.1: Непустое множество элементов произвольной природы называется группой, если в нем определена одна алгебраическая операция , которая обладает следующими свойствами:

1. Ассоциативность: , .

2. Операция обратима, то есть существуют единственные и из такие, что , .

Определение 9.2: Группа, состоящая из конечного числа элементов называется конечной, а число элементов в ней – порядком группы.

Определение 9.3: Если групповая операция коммутативна, то есть , , то группа называется коммутативной или абелевой.

Замечание: Если групповая операция обозначается и называется сложением, то такая форма записи группы называется аддитивной, а если и называется умножением – то мультипликативной.