Функция распределения для вырожденного газа фермионов

Функция распределения для вырожденного газа фермионов (Ферми-Дирака) имеет вид:

(3.30)

где m- это химический потенциал вырожденного газа, который называют уровнем Ферми.

Из формулы (3.30) следует, что при Е=μ функция распределения ƒ_Ф(E) становится равной ½ при любой температуре ¹ 0. Таким образом, уровень Ферми -это энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна 1/2.

Рассмотрим распределение электронов в металле при абсолютном нуле. Металл можно рассматривать для электронов потенциальной ямой, выход из которой требует затраты работы по преодолению сил связи, удерживающих электроны в металле. В соответствии с принципом Паули на каждом уровне могут разместиться 2 электрона с противоположными спинами.

Рисунок 3.5

Если электронный газ содержит N электронов, то последним занятым окажется уровень N/2 (рис. 3.5).

Этот уровень является уровнем Ферми для вырожденного электронного газа. Он соответствует максимальной кинетической энергии (Е_ф), которой может обладать электрон в металле при абсолютном нуле (энергия Ферми). Таким образом, при абсолютном нуле все состояния с энергией Е<Е_ф заняты электронами, а при Е>Еф – свободны. Следовательно, при Т=0 K вероятность заполнения электронами состояний с Е< Е_ф равна 1, а при Е>Еф вероятность заполнения состояний электронами равна 0 (рис.3.6).

Рисунок 3.6 - График функции распределения Ферми – Дирака

при абсолютном нуле

Так как при t = 0 К, химический потенциал m электронного газа, отсчитанный от дна потенциальной ямы, равен Е_ф, то (3.30) можно переписать в виде:

(3.31)

Умножив ƒ_Ф (Е) на g(Е)dE и учитывая, что в интервале энергий от 0 до Е_ф функция ƒ_Ф(Е) =1, получим полную функцию распределения Ферми – Дирака при абсолютном нуле

N(E)dE= (3.32)

График функции N(E) имеет вид (рис 3.7)

Рисунок 3.7

Интегрируя (3.32) в пределах от 0 до Е_ф, получим что

(3.33)

Отсюда легко определить энергию Ферми

= (3.34)

Зная функцию распределения электронов по энергиям, можно определить среднюю энергию электронов при абсолютном нуле

. (3.35)

Температура, определяемая из выражения T_F= E_F/k, где k– постоянная Больцмана, называется температурой Ферми. Ниже этой температуры электронный газ переходит из невырожденного состояния в вырожденное. Температура Ферми столь высока, что ни один металл в конденсированном состоянии не может существовать при такой температуре. Например, T_F(Cu)=8,2×10⁴ K; T_F(Ag)=6,4×10⁴ K. То есть, электронный газ в металлах при всех практически возможных температурах находится в вырожденном состоянии.

С повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на более высокие энергетические уровни. Однако, тепловому возбуждению подвергается только часть электронов, отстоящие от ближайших свободных уровней на величину kT, т.е. имевшие энергию меньше Е на kT.

Рисунок 3.8

На рисунке 3.8 показана кривая распределения электронов по состояниям при температуре Т>0 °К. Из рисунка видно, что повышение Т вызывает "размытие" распределения на глубину kTи появление «хвоста» распределения, располагающегося правее Еф. Чем выше температура, тем более существенному изменению подвергается функция распределения. А сам «хвост» описывается распределением Максвелла. На рисунке заштрихованные площадки равны, т.к. выражают одно и тоже число электронов. При комнатной температуре, когда kT»0.025 эВ, число электронов в «хвосте» меньше 1%, а при Т=1000 K число электронов»1-2%. Поэтому во всем диапазоне температур в котором электронный газ в металле является вырожденным его распределение мало отличается от распределения при абсолютном нуле.

Т.к. вплоть до точки плавления металла kTостается значительно меньше, чем Еф, уменьшение mс повышением температуры оказывается настолько малым, что им можно пренебречь и химический потенциал при любой температуре совпадает с Еф.

Для вырожденного электронного газа средняя энергия даже при абсолютном нуле имеtт большую величину и практически не зависbт от температуры (слабо зависят).