double arrow

Свойства линейного преобразования векторного пространства


1. , т.е. образ суммы векторов равен сумме образов каждого из них.

2. , т.е. если вектор умножить на число, то его образ умножится на это число.

3. Если векторы коллиниарны, то их образы также коллиниарны, т.е. если , то , или иначе, линейное преобразование векторного пространства сохраняет коллиниарность (параллельность) векторов. Следовательно, образом параллелограмма будет так же параллелограмм.

4. Линейное преобразование векторного пространства сохраняет пропорциональность отрезков, т.е. если

, то .

Эти свойства легко следуют из соответствующих линейных операций над матрицами.

5. Площадь образа параллелограмма равна площади исходного параллелограмма, умноженной на абсолютную величину определителя матрицы линейного преобразования.

Доказательство. Пусть - последовательные вершины исходного параллелограмма , тогда его площадь равна

,

где

= (; ), = (; ).

Образом параллелограмма при линейном отображении с помощью матрицы является параллелограмм со смежными сторонами-векторами

= (()();()+());

= (()();()+()).

Вычислим его площадь.

=+

+=

=+ +

+ + =

= 0 + (+ + 0 =

= (- =

=((- ) =

=.




Таким образом, свойство 5 доказано.

6. Объем образа параллелепипеда равен объему исходного параллелепипеда, умноженного на абсолютную величину определителя матрицы линейного преобразования.

Это свойство доказывается точно так же, как свойство 5.







Сейчас читают про: