Колебательное звено. Колебательное звено, называемое также инерционным звеном второго порядка, описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка

Колебательное звено, называемое также инерционным звеном второго порядка, описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка:

. (1-56)

Передаточная функция будет равна:

(1-57)

Отсюда комплексно-частотная характеристика запишется в виде:

(1-58)

Комплексно-частотная характеристика колебательного звена при изменении частоты от 0 до ¥ находится в четвертом и третьем квадранте комплексной плоскости (рис. 1 – 34), причем амплитудно-частотная характеристика этого звена может иметь максимум на какой-либо резонансной частоте - w_р (рис. 1 – 34б).

Переходная характеристика колебательного звена получается в результате решения уравнения (1-56) и может иметь один из следующих трех видов:

а) если характеристическое уравнение звена имеет два различных вещественных отрицательных корня, т.е. P₁= -a₁ и P₂= -a₂, то переходная характеристика (рис. 1 – 35) находится по выражению:

; (1-59а)

б) если характеристическое уравнение звена имеет два равных вещественных отрицательных корня Р_1,2=-a, то

; (1-59б)

в) если характеристическое уравнение звена имеет комплексно-сопряженные корни с отрицательной вещественной частью, т.е. Р_1,2=-a ± iw, то

. (1-59в)

На рис. 1 – 35 представлены переходные процессы в колебательном звене, вид которых, соответственно, определяется значениями корней характеристического уравнения. Можно доказать, что колебательный характер переходного процесса будет лишь в случае, если в формуле для корней характеристического уравнения:

подкоренное выражение будет отрицательным, т.е. корни являются комплексно-сопряженными. Это соблюдается, если отношение .

Оценку колебательности звена, как правило, производят по величине ее степени затухания - y, которая определяется как отношение разности двух соседних амплитуд (рис. 1 – 36) колебаний, направленных в одну сторону к первой из них:

Необходимо отметить, что колебательному характеру переходного процесса в звене соответствует наличие в амплитудно-частотной характеристике резонансного пика (рис. 1 34б), что позволяет судить о наличии связи между величиной максимума АЧХ звена - и его степенью затухания - y. Действительно, как показали исследования (табл. 1) между величиной максимума амплитудно-частотной характеристики - М колебательного звена и степенью затухания y существует тесная взаимосвязь, причем с увеличением резонансного пика (т.е. с увеличением М) степень затухания будет уменьшаться (колебательность будет больше) и наоборот. По этой причине отношение получило название – показатель колебательности.