Волновой пакет. Групповая скорость волны

ВОЛНОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УПРУГОЙ СРЕДЕ

Все реальные волны отличаются от синусоидальных. Оказывается, что любую несинусоидальную волну можно заменить эквивалентной ей системой синусоидальных волн. Описание волны упрощается, если волна мало отличается от синусоидальной - квазисинусоидальная волна.

Квазисинусоидальная волна представляет собой совокупность синусоидальных волн, частоты которых мало отличаются от некоторой основной частоты w. Такую несинусоидальную волну называют группой волн, или волновым пакетом.

Дисперсией. называется зависимость свойства среды (например, скорость распространения волны) от частоты

Рассмотрим простейший волновой пакет, образованный двумя плоскими продольными синусоидальными волнами, распространяющимися вдоль оси ОХ. Пусть амплитуды этих волн одинаковы, начальные фазы равны нулю, ачастоты и волновые числа несколько различны, но близки друг к другу:

s ₁ = A ₀sin(w₁ t – k ₁ x),
s₂ = A ₀sin(w₂ t – k ₂ x)

Для результирующей волны получим:

s = s₁ + s₂ = 2 A ₀ cos(Dw t – D kx)sin(w t – kx),

где:

Амплитуда А этой волны постоянной не является, а зависит от координаты х и времени:

A = 2 A ₀ cos(Dw t – D kx).

Выражение для амплитуды волнового пакета также является уравнением плоской синусоидальной волны, которая является волной амплитуды колебаний. Фаза этой волны равна:

Ф _A = Dw t – D kx.

Скорость и распространения энергии волнового пакета наз. групповой скоростью, которая равна фазовой скорости волны амплитуды. Дифференцируя выражение для Ф _А и полагая Ф _А = const, получим:

В пределе, когда Dw и Δ k стремятся к нулю, получим:

. (9.21)

С учетом того, что, формула (9.1) примет вид:

. (9.22)

Подставив в (9.2) выражение частоты через фазовую скорость u , и выполнив дифференцирование, получим:

. (9.23)

Формула (9.3) устанавливает соотношение между групповой и фазовой скоростью волн, и получила название формулы Рэлея. Скорость и называется групповой скоростью пакета волн. В случае отсутствия дисперсии волн (d u/ d l = 0) групповая скорость волн в пакете совпадает с их фазовой скоростью.

Так как скорость группы волн характеризует распространение амплитуды волнового пакета, то групповая скорость определяет скорость распространения энергии волны.

9.2 Интерференция и дифракция волн. Стоячие волны.
Принцип Гюйгенса.

Интерференцией волн называют явление, которое возникает при наложении двух или нескольких волн и состоящее в устойчивом во времени их взаимном усилении в одних точках пространства и ослаблении в других, в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Интерферировать могут только те волны, которые удовлетворяют следующим условиям:

- волны должны быть синусоидальными,

- частоты колебаний волн должны быть одинаковы, такие волны называются монохроматическими,

- разность фаз интерферирующих волн не зависит от времени, такие волны называются когерентными,

- колебания в волнах совершаются вдоль одного и того же направления.

При интерференции волн отсутствует простое суммирование их энергий, интерференция волн приводит к перераспределению энергии колебаний между соседними областями среды. Поэтому явление интерференции не противоречит закону сохранения и превращения энергии. Примером интерференции волн является картина, создаваемая двумя колеблющимися тонкими стержнями, погруженными в жидкость и жестко связанными друг с другом так, что их амплитуды, частоты и начальные фазы одинаковы. На поверхности жидкости будет наблюдаться совокупность гребней и впадин, – максимумов и минимумов.

Если волна огибает какое-либо препятствие, то за ним также будет наблюдаться интерференционная картина. Например, волны, исходящие из точек А и В (рис. 9-1), будут когерентными, так как эти точки принадлежат волновому фронту одной и той же волны. Направления колебаний в этих точка также совпадают. Поэтому, в точке О будет наблюдаться интерференционная картина. Такое явление называется дифракцией волны. В результате дифракции колебания наблюдаются даже в тех местах, которые «закрыты» препятствием на пути волны.

Все синусоидальные волны распространяются в среде независимо друг от друга, так что результирующее смещение любой частицы среды равно векторной сумме ее смещений, обусловленных каждой из волн в отдельности. Этот результат справедлив для волн любой природы и называется принципом суперпозиции волн. На основе наблюдений Гюйгенсом был предложен принцип, который объясняет распространение волны: каждая точка волнового фронта является источником вторичной сферической волны, а огибающая фронтов вторичных волн является фронтом новой волны.

Явления интерференции и дифракции проявляются не только при распространении механических волн, но и световых.

Рис. 9.1

На границе раздела упругих сред механические волны частично преломляются и частично отражаются. Направление колебаний частиц среды и их частота в отраженной волне не изменяются. При полном отражении не изменяется и амплитуда колебаний. При отражении от менее плотной среды фаза колебаний не изменяется, а при отражении от более плотной среды фаза изменяется на p. В результате сложения падающей и отраженной волны образуется стоячая волна. Найдем уравнение стоячей волны для полного отражения. Если уравнение падающей волны s ₁ = A cos(w t – kx), то при отражении от менее плотной среды уравнение отраженной волны S ₂ = A cos(w t + kx). Складывая оба этих уравнения и преобразовывая результат по формуле для суммы косинусов, получим:

s = s₁ + s₂ = 2 A cos kx cosw t. (9.4)

Поскольку k = 2p/l, то имеем

. (9.5)

Уравнение (9.5) есть уравнение стоячей волны. Из (9.5) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты w, что и у встречных волн. Величина является амплитудой стоячей волны. В точках, в которых выполняется условие