Метод Эйлера решения задачи Коши. Геометрический смысл метода Эйлера

Класс вычислительных формул решения задачи Коши, основанных на квадратурных формулах численного интегрирования

Устойчивые и неустойчивые дифференциальные уравнения

Метод Эйлера решения задачи Коши. Геометрический смысл метода Эйлера

План

Лекция 34. Численные методы решения задачи Коши (продолжение)

Рассмотрим случай использования рассчетной формулы (2) предыдущей лекции, когда . Тогда формула (3) предыдущей лекции примет вид:

(4)

— формула Ейлера.

Геометрический смысл формулы Эйлера представлен на рисунке 1.

Рис.1.

В общем случае на каждом шаге приближения приближенное решение переходит на новую кривую из представленного множества решений. Для некоторых дифференционных уравнений это вызывает большие погрешности. Например, если мы имеем уравнение , погрешность, которую мы имели на первых шагах приближения, будет сильно возрастать. Такое явление называется неустойчивостью дифференционного уравнения.

Рассмотрим уравнение :

, , , , .

Множество решений изображено на рис.2.

Рис.2

Погрешность, которую мы допустили сначала, будет уменьшаться. Такое явление называется устойчивостью дифференционного уравнения.