Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Уравнение плоской и сферической волн




Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат x, y, z и времени t:

Ψ = Ψ(x, y, z; t) (7.3)

(имеются ввиду координаты равновесного положения частицы).

Найдем вид функции Ψ в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось X совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными к оси x и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение Ψ будет зависеть только от x и t: Ψ = Ψ(x, t).

Рис. 7.3

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости x = 0 (рис.7.3), имеют вид

Ψ(0, t) = acos(wt + a).

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Для того чтобы пройти путь от плоскости x = 0до этой плоскости, волне требуется время t = x/u(u- скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости x, будут отставать по времени на tот колебаний частиц в плоскости x = 0, т. е. будут иметь вид

.

Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси x, выглядит следующим образом:

Ψ . (7.4)

Зафиксируем какое либо значение фазы, стоящей в уравнении (7.4), положив

. (7.5)

Это выражение определяет связь между временем t и тем местом x, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (7.5), получим

,

откуда

. (7.6)

Таким образом, скорость распространения волны u в уравнении (7.4) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.

Согласно (7.6) dx/dt > 0. Следовательно, уравнение (7.4) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

Ψ . (7.7)

Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно x и t вид. Для этого введем величину

, (7.8)

которая называется волновым числом. Умножив числитель и знаменатель выражения (7.8) на частоту v, можно представить волновое число в виде

. (7.9)

Раскрыв в (7.4) круглые скобки и приняв во внимание (7.9), придем к следующему уравнению плоской волны, распространяющемуся вдоль оси x:

. (7.10)

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания x, отличается от (7.10) только знаком при члене kx:

. (7.11)

Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако, если ограничится рассмотрением волны на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равна . Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут колебаться с фазой (чтобы пройти путь r, волне требуется время t = r/u). Амплитуда колебаний в этом случае убывает с расстоянием от источника по закону 1/r.




Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид

, (7.12)

где a - постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице.

Рассмотрим более общий случай плоской волны, распространяющийся в произвольном направлении. Для этого введем единичный вектор n нормали к волновой поверхности.

Вектор

k = k n, (7.13)

равный по модулю волновому числу и имеющий направление нормали к волновой поверхности, называется волновым вектором. Общее уравнение плоской волны можно представить в виде

Ψ. (7.14)

Мы получили уравнение плоской незатухающей волны, распространяющейся в направлении, определяемом волновым вектором k.





Дата добавления: 2014-02-24; просмотров: 3420; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше... 8895 - | 7206 - или читать все...

Читайте также:

 

3.80.5.157 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.003 сек.