2014-02-24
1351
Условие неубывания (невозрастания) функции.
Т°. Функция не убывает, когда ее производная не положительна.
Функция не возрастает, когда ее производная не отрицательна.
D Докажем для не убывающей функции.
1) f (x) - не убывает Þ " x1, x2 
Þ 
.
2) 
Þ 
Þ f (x) не убывает. ▲
Т°. Функция строго монотонна тогда и только тогда когда ее производная внутри промежутка не меняя знака, обращается в ноль не более чем на множестве без внутренних точек.
D Допустим f (x) не убывает и не является строго возрастающей. Тогда
$ х 1, х 2 х 1 < х 2 и f (x 1) = f (x 2).
Значит
" х Î (x 1, x 2) f (x 1) £ f (x) £ f (x2) т.е. f (x) = const на (x1, x 2) Þ
на (x 1, x 2). ▲
