Примеры линейных операторов и нелинейных

1. Пусть – фиксированное число. Рассмотрим отображение

Это линейный оператор, причем таким образом устроена любая линейная функция на прямой.

2. Пусть – фиксированная матрица размера Рассмотрим отображение

Это линейный оператор, причем любой линейный оператор, действующий из в есть оператор умножения на матрицу размера

3. Пусть – линейное нормированное пространство над полем Рассмотрим тождественное отображение, которое по традиции обозначают буквой

Это линейный оператор.

4. Пусть – линейные нормированные пространства над полем Рассмотрим нулевое отображение, которое все элементы пространства отображает в нулевой элемент пространства

Это отображение также является линейным оператором.

В примерах 1 – 4 мы не приводим доказательство линейности, потому что оно слишком тривиально. Следующие примеры, хотя они тоже несложные, сопроводим проверкой соотношения линейности в форме (1.1) или (1.2).

5. Рассмотрим отображение

Проверим соотношения линейности в форме (1.2):

Следовательно, это отображение является линейным оператором.

6. Рассмотрим отображение

Проверим соотношения линейности в форме (1.2):

поскольку Второе соотношение (1.2) можно не проверять, если показано, первое уже не выполнено. Это отображение не является линейным оператором.

7. Рассмотрим отображение

Проверим соотношения линейности в форме (1.2):

Значит, это отображение является линейным оператором (оператор замены переменной).

8. Рассмотрим отображение

Значением этого отображения на функции является интеграл с переменным верхним пределом, т.е. новая функция от переменной причем непрерывная по свойству непрерывности интеграла с переменным верхним пределом. Справедливость соотношения линейности в форме (1.1) опирается на линейность интеграла:

Таким образом, перед нами линейный оператор.

9. Рассмотрим отображение

Это отображение похоже на предыдущий пример, но линейным оператором оно не является из-за операции возведения в квадрат функции Не выполняются обе формулы (1.2), продемонтрируем на примере второй:

10. Рассмотрим отображение

Это отображение является линейным оператором благодаря линейности интеграла. Проверим соотношение (1.1):

11. Рассмотрим отображение, которое сдвигает каждую непрерывную функцию на единицу вверх:

Оно не является линейным оператором, не выполняются соотношения (1.2), в частности, первое:

12. Рассмотрим отображение дифференцирования

Дифференцирование, конечно, является линейным оператором, отсюда линейные свойства производной. Проверим формулу (1.1):

Упражнение: Проанализируйте, как связаны между собой понятия сжимающего отображения и линейного оператора для функций a) приведите примеры сжимающих функций, не являющихся линейными, и линейных функций, не являющихся сжимающими, а также функций, являющихся одновременно линейными и сжимающими; б) найдите общую формулу для линейных сжимающих функций

Упражнение: Найдите общую формулу для линейного сжимающего оператора