2014-02-24
4343
1. Пусть 
– фиксированное число. Рассмотрим отображение
Это линейный оператор, причем таким образом устроена любая линейная функция на прямой.
2. Пусть 
– фиксированная матрица размера 
Рассмотрим отображение
Это линейный оператор, причем любой линейный оператор, действующий из 
в 
есть оператор умножения на матрицу размера
3. Пусть 
– линейное нормированное пространство над полем 
Рассмотрим тождественное отображение, которое по традиции обозначают буквой 
Это линейный оператор.
4. Пусть 
– линейные нормированные пространства над полем Рассмотрим нулевое отображение, которое все элементы пространства 
отображает в нулевой элемент пространства 
Это отображение также является линейным оператором.
В примерах 1 – 4 мы не приводим доказательство линейности, потому что оно слишком тривиально. Следующие примеры, хотя они тоже несложные, сопроводим проверкой соотношения линейности в форме (1.1) или (1.2).
5. Рассмотрим отображение
Проверим соотношения линейности в форме (1.2):
Следовательно, это отображение является линейным оператором.
6. Рассмотрим отображение
Проверим соотношения линейности в форме (1.2):
поскольку 
Второе соотношение (1.2) можно не проверять, если показано, первое уже не выполнено. Это отображение не является линейным оператором.
7. Рассмотрим отображение
Проверим соотношения линейности в форме (1.2):
Значит, это отображение является линейным оператором (оператор замены переменной).
8. Рассмотрим отображение
Значением этого отображения на функции 
является интеграл с переменным верхним пределом, т.е. новая функция от переменной 
причем непрерывная по свойству непрерывности интеграла с переменным верхним пределом. Справедливость соотношения линейности в форме (1.1) опирается на линейность интеграла:
Таким образом, перед нами линейный оператор.
9. Рассмотрим отображение
Это отображение похоже на предыдущий пример, но линейным оператором оно не является из-за операции возведения в квадрат функции 
Не выполняются обе формулы (1.2), продемонтрируем на примере второй:
10. Рассмотрим отображение
Это отображение является линейным оператором благодаря линейности интеграла. Проверим соотношение (1.1):
11. Рассмотрим отображение, которое сдвигает каждую непрерывную функцию на единицу вверх:
Оно не является линейным оператором, не выполняются соотношения (1.2), в частности, первое:
12. Рассмотрим отображение дифференцирования
Дифференцирование, конечно, является линейным оператором, отсюда линейные свойства производной. Проверим формулу (1.1):
Упражнение: Проанализируйте, как связаны между собой понятия сжимающего отображения и линейного оператора для функций 
a) приведите примеры сжимающих функций, не являющихся линейными, и линейных функций, не являющихся сжимающими, а также функций, являющихся одновременно линейными и сжимающими; б) найдите общую формулу для линейных сжимающих функций 
Упражнение: Найдите общую формулу для линейного сжимающего оператора 
