2014-02-24
1430
Законом распределения вероятностей системы случайных величин называется соответствие, устанавливающее связь между областями возможных значений данной системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.
Так же, как и для одной случайной величины, закон распределения системы случайных величин может быть задан в различных формах. Рассмотрим таблицу распределения вероятностей системы двух дискретных случайных величин. Пусть 
и 
– дискретные случайные величины, возможные значения которых 
, где 
. Тогда распределение системы таких случайных величин может быть охарактеризовано указанием вероятностей 
того, что случайная величина примет значение 
и одновременно с этим случайная величина примет значение 
. Вероятности 
фиксируются в таблице
|
|
| ... |
|
|
|
| ... |
|
|
|
| ... |
|
| . . . | . . . | . . . | . . . | . . . |
|
|
| ... |
|
Такая таблица называется таблицей распределения вероятностей системы двух дискретных случайных величин с конечным числом возможных значений. Все возможные события 
при составляют полную группу несовместных событий, поэтому
.
При этом:
;
.
3. Функция распределения [19]
Функцией распределения вероятностей системы двух случайных величин называется функция 
двух аргументов, равная вероятности совместного выполнения двух неравенств 
и 
, то есть 
.
Геометрически функцию распределения системы двух случайных величин можно интерпретировать как вероятность попадания случайной точки 
в левый нижний бесконечный квадрант с вершиной в точке 
плоскости 
(см. рис.).
|
Сформулируем основные свойства функции распределения вероятностей системы двух случайных величин (без доказательства):
1. 
2.
; 
(или 
).
3.
(или 
).
4.
(
).
5. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов, то есть:
, если 
;
, если 
.
|
6. Вероятность попадания случайной точки 
в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям (см. рис.) вычисляется по формуле:
=
=
,
где 
.
4. Плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин [20]
Предположим, что функция распределения 
всюду непрерывна и дважды дифференцируема[21] (за исключением, быть может, конечного числа кривых). Тогда, смешанная частная производная функции
.
Функция 
называется плотностью распределения (или, дифференциальной функцией распределения) системы непрерывных случайных величин .
Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.
Зная плотность распределения , можно определить вероятность попадания случайной точки в произвольную область 
:
.
Используя последнюю формулу, выразим интегральную функцию распределения вероятностей системы двух непрерывных случайных величин через плотность распределения :
.
Рассмотрим некоторые свойства плотности распределения системы двух непрерывных случайных величин:
1. 
;
2. 
, если случайная величина распределена на всей координатной плоскости (если же распределена в некоторой плоской области 
, то 
)
ПРИМЕР. Пусть плотность распределения системы двух случайных величин задана выражением:
.
Найти параметр А. Определить функцию распределения и вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами: 
, 
.
Решение. Использовав свойство 2 плотности распределения, найдём постоянную величину А:
Определим теперь интегральную функцию распределения:
.
Таким образом, нетрудно теперь найти вероятность попадания случайной точки в заданный прямоугольник :
.
