Примеры решения задач. Определить напряжённость поля, создаваемого зарядом, равномерно распределённым по тонкому прямому стержню с линейной плотностью 200 нКл/м

Задача 1.1

Определить напряжённость поля, создаваемого зарядом, равномерно распределённым по тонкому прямому стержню с линейной плотностью 200 нКл/м, в точке, лежащей на перпендикуляре, восстановленном в середине стержня, на расстоянии 40 см от его середины. Длина стержня 60 см (рис. 1.21).

Решение

Разобьем стержень на бесконечно малые элементы d l= d y; y – координата данного элемента. Заряд элемента d q= τd y можно считать точечным. Напряженность поля, созданного зарядом d q в точке А на расстоянии r от заряда, равна:

, (1)

где ; (2)

Рис. 1.21

α – угол между перпендикуляром к стержню и радиус-вектором r элемента стержня, проведенным из точки А. Направление вектора напряженности (см. на рис. 1.21). Так как ,то

, то. (3)

Найдем проекции d E на координатные оси:

; , (4)

Проекции полной напряженности на оси рассчитываются интегрированием:

; , (5)

причем интегрирование производится по всей длине стержня. Здесь использован принцип суперпозиции в проекциях на оси. Полная напряженность вычисляется по теореме Пифагора:

. (6)

С учетом (1) и (4) получим из (5):

, (7)

.

Постоянную величину выносим за знак интеграла и подставим пределы интегрирования: угол α изменяется от (–α₀) до α₀, где . Далее, первообразная функция от – это , а от – . Тогда

,

.

Окончательно получаем для напряженности:

,

.

Ответ: E = 5,4^.10³ В/м.

Задача 1.2.

Два одинаковых плоских воздушных конденсатора ёмкостью по 100 пФ каждый соединены в батарею последовательно. Определить, на сколько изменится ёмкость батареи, если пространство между пластинами одного из конденсаторов заполнить парафином с диэлектрической проницаемостью 2.

Решение

Общую ёмкость при последовательном соединении конденсаторов С ₁ и С ₂ можно: найти из формулы: . Поэтому общая ёмкость батареи, состоящей из двух одинаковых конденсаторов ёмкостью С ₀ (до заполнения одного из конденсаторов парафином) равна: . После заполнения парафином одного из конденсаторов его ёмкость , а до заполнения была равна , то есть ёмкость возросла в ε раз: . Найдём новую общую ёмкость батареи: . Таким образом, изменение ёмкости батареи равно: . Подставим численные значения: .

Ответ: .

Задача 1.3.

Электрическое поле создано заряженной (Q = 0,2 мкКл) металлической сферой радиусом 5 см. Какова энергия поля, заключенного в сферическом слое, ограниченном сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в 3 раза больше радиуса сферы?

Решение:

Энергию поля, заключенную в сферическом слое, будем находить через объемную плотность энергии, равную по определению

, (1)

а для энергии электростатического поля

. (2)

Напряженность электростатического поля, созданного уединенной металлической заряженной сферой, вне этой сферы (при r > R ₀) такая же, как и напряженность поля точечного заряда, находящегося в центре сферы:

, (3)

причем будем считать, что ε = 1 (поле в вакууме).

Из (1) – (3) следует, что энергия, заключенная в любом малом объеме d V, равна:

. (4)

Поскольку поле сферически симметрично, в качестве d V следует брать тонкий шаровой слой, концентрический данной сфере, с внутренним радиусом r, внешним радиусом (r + d r), тогда в пределах этого слоя значение напряженности можно считать одинаковым и равным (3). Объем слоя можно найти, перемножив площадь сферы на его толщину, так как слой тонкий:

. (5)

Наконец, искомую энергию находим, проинтегрировав (4) по объему, то есть в пределах R ₀ < r < R:

,

.

Ответ: W = 2,4 мДж.

Контрольные вопросы и задания

1. Во сколько раз кулоновская сила отталкивания протонов больше силы их гравитационного притяжения?

2. Почему при описании механического движения не учитывается сила электростатического взаимодействия зарядов, из которых состоят тела?

3. Почему равновесие статических зарядов неустойчиво?

4. Почему модуль напряженности поля пропорционален степени сгущения силовых линий напряженности?

5. Как формулируется теорема Гаусса для зарядов, помещенных в среду с диэлектрической проницаемостью ?

6. Какими свойствами должна обладать Гауссова поверхность?

7. Какими свойствами должен обладать замкнутый контур L, по которому берется интеграл в теореме о циркуляции вектора напряженности?

8. Сформулируйте теорему Гаусса в дифференциальной форме.

9. С помощью теоремы Гаусса получите выражение для напряженности поля равномерно заряженного диэлектрического шара.

10. Получите выражение для потенциала поля равномерно заряженного диэлектрического шара.

11. В чем состоит явление электризации?

12. Постройте график зависимости диэлектрической проницаемости сегнетоэлектрика от напряженности внешнего поля.

13. Постройте график зависимости диэлектрической проницаемости неполярного диэлектрика от напряженности внешнего поля.

14. Постройте график зависимости диэлектрической проницаемости полярного диэлектрика от напряженности внешнего поля.

15. Почему введение диэлектрика увеличивает емкость конденсатора?

16. Оцените электроемкость Земли, считая ее сферой.

17. Почему большой заряд не удерживается на сфере малого радиуса?

18. Выведите формулу для энергии заряженного конденсатора, через напряженность поля между обкладками конденсатора.

2. Законы постоянного тока

2.1. Сила тока. Закон Ома

Сила тока определяется количеством электрического заряда, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени

.

Плотность тока определяется силой тока, отнесенной к единице площади поперечного сечения проводника

.

Если известны заряд носителя ‑ q, n ‑ концентрация носителей и ‑ средняя скорость их направленного движения, то выражение для плотности тока принимает вид

.

Сопротивление проводника длиной l с площадью поперечного сечения S

,

где ‑ удельное сопротивление материала проводника.

Удельное сопротивление большинства проводников зависит от температуры

,

где ‑ удельное сопротивление при , ‑ термический коэффициент сопротивления.

Плотность тока и напряженность электрического поля в данной точке проводника связаны между собой законом Ома в дифференциальной форме (рис. 2.1)

,

где ‑ удельная электропроводность проводника.

Рис. 2.1. Движение электронов в проводнике с площадью поперечного сечения проводника ‑ S и током ‑ I; – электрическое поле

Закон Ома для участка однородной цепи (не содержащей источники э. д. с.)

,

где ‑ разность потенциалов на концах участка, ‑ его сопротивление.

Закон Ома для участка неоднородной цепи, содержащей источники э. д. с. ‑ E_i и сопротивления ‑ R_i

.

Закон Ома для замкнутой цепи (рис. 2.2)

,

где R _внеш; R _внутр – полные сопротивления внешнего и внутреннего участков цепи.

Рис. 2.2. Замкнутая цепь постоянного тока