Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Если число , то это означает, что в среднем в 90% случаев из 100% интервал накроет параметр а и в 10% случаев из 100% не накроет его




Метод доверительных интервалов разработан американским статистиком Ю.Нейманом, исходя из идей английского статистика Р.Фишера.

Нахождение границ доверительного интервала непосредственно зависит от закона распределения величины (это случайная величина), который, в свою очередь, определяется законом распределения случайной величины Х и, следовательно, зависит от его параметров (в частности, и от самого параметра а).

Ниже мы рассмотрим, как построить доверительный интервал для оценки математического ожидания М(х), среднего квадратического отклонения и вероятности события Р для известных законов распределения: нормального, биномиального.

3. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины

Пусть известно, что случайная величина Х имеет нормальное распределение, но неизвестен ее параметр а (математическое ожидание).

Допустим, что точечную оценку параметра а по выборочной средней нашли, т.е. . Надо определить точность этой приближенной формулы при заданной надежности .

Эта задача решается в двух случаях: 1) когда параметр известен; 2) когда параметр неизвестен.

а) построение доверительного интервала для математического ожидания при известном .

, (**)

где: - заданная надежность (вероятность);

n – объем выборки;

t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором (см. приложение 2);

- точность оценки.

Исходя из обозначений для доверительного интервала нормально распределенной случайной величины имеем:

, где - функция Лапласа, значения которой приведены в приложении №2 Гмурман В.Е.

Если задана доверительная вероятность и объем выборки n , то из уравнения пользуясь таблицей Лапласа, можно найти значение аргумента , а отсюда .

Величина t – случайная и при известном имеет нормальное распределение, как и случайная величина Х. Величина t определяет число средних квадратических отклонений , которые надо отложить вправо и влево от центра рассеивания.

Заметим, что рассмотренную нами формулу (**) построения доверительного интервала для математического ожидания при известном , можно использовать при достаточно больших n и в случае, если закон распределения не является нормальным. В этом случае .

б) построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестном .

Пусть случайная величина Х – нормально распределена и неизвестна. Тогда:

,

где: - (в Гмурмане В.Е. обозначается s) необходимо определить по формуле точечной оценки параметра при , т.е. ;

- находят по таблице приложения 3 (Гмурман В.Е.) по заданным n и .

4. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины Допустим, что найдена точечная оценка для равная , т.е. . Требуется найти доверительный интервал , накрывающий параметр с надежностью . Потребуем выполнения соотношения . Преобразуем двойное неравенство в равносильное неравенство . Обозначив ,получим при . При формула имеет вид . Для отыскания q составлена специальная таблица (см. приложение 4 Гмурман В.Е.). Вычислив по выборке и определив по таблице значение q, получим искомый доверительный интервал: , где .

4. Доверительный интервал для определения вероятности события Р (генеральной доли) при большом количестве опытов или большом объеме выборки

или в наших обозначениях предыдущей лекции .




Точечной оценкой вероятности Р события служит частота события. Для определения точности вычисления Р надо найти и записать .

Величины и n в этом случае связаны выражением:

,

где: - функция Лапласа, значения которой см. в Приложении 2 Гмурман В.Е.;

- частота появления события;

- частота не появления события.

Замечание.Если величины m и n неизвестны, то принимают , так как принимает максимальное значение при .

Замечание.Вы помните из прошлой лекции, что при больших n (порядка сотен) биномиальное распределение стремиться к нормальному.

Интервальной оценкой (с надежностью ) неизвестной вероятности Р биномиального распределения по относительной частоте w при больших n служит доверительный интервал:

,

где t – определяется по таблицам функции Лапласа (приложение 2) из соотношения .

В этом случае для оценки генеральной доли Р нормально распределенного количественного признака по выборочной доле w будет использоваться формула:



.





Дата добавления: 2014-02-09; просмотров: 433; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент - человек, постоянно откладывающий неизбежность... 10305 - | 7262 - или читать все...

Читайте также:

 

18.206.194.83 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.003 сек.