Свойства пределов

Обозначение предела Предел функции обозначается как , при или через символ предела .

Всюду ниже предполагается, что пределы функций существуют.

Рассмотрим основные свойства пределов.

1. Предел суммы

Предел суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует, т.е.

1. Предел разности

Предел разности равен разности пределов, если каждый из них существует, т.е.

1. Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

1. Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

1. Предел произведения Предел произведения равен произведению пределов, если каждый из них существует, т.е.

1. Предел частного

Предел частного равен частному пределов, если каждый из них существует и знаменатель не обращается в нуль, т.е.

1. Предел степенной функции

где степень p - действительное число.

1. Предел показательной функции

где основание b > 0.

1. Предел логарифмической функции

где основание b > 0.

1. Теорема "о двух милиционерах"

Предположим, что для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точки x = a. Тогда, если

то

То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу A.

Вычислить пределы: а) ; б) ; в) (m, n - натуральные числа).

Решение.

а) Разлагая по формуле бинома Ньютона, получаем

б) Полагая x = 1 + t (t → 0 при x → 1) и пользуясь принципом отбрасывания бесконечно малых, находим

в) Пусть x = 1 + t. Тогда t → 0 при x → 1. Имеем