Числовые характеристики наработки до отказа при логарифмически нормальном распределении

График надежности при логарифмически нормальном распределении

Графики изменения показателей надежности при логарифмически нормальном распределении приведены на рис. 7.2.

Рис. 7.2. Графики изменения показателей надежности при логарифмически нормальном распределении.

- Средняя наработка (МО наработки) до отказа

,

(7.12)

- Дисперсия наработки до отказа

,

(7.13)

3. Гамма–распределение.

3.1. Гамма – распределение

Случайная величина наработки до отказа T имеет гамма-распределение с параметрами:

- α – масштабный параметр;

- β – параметр формы,

где α, β> 0, причем β – целое число, если ее ПРО описывается выражением:

,

(7.14)

где Г(β) = (β - 1)! – гамма-функция Эйлера.

Очевидно, что при β = 1 выражение (7.14) упрощается до вида (7.1), соответствующего экспоненциальному распределению.

Гамма-распределение наиболее хорошо описывает распределение суммы независимых случайных величин, каждая из которых распределена по экспоненциальному закону.

При больших β гамма-распределение сходится к нормальному распределению с параметрами: a = β×α, b =β×α².

3.2. График надежности при гамма – распределении

Графики изменения показателей надежности при гамма-распределении приведены на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Графики изменения показателей надежности при гамма –распределении.

3.3. Числовые характеристики наработки до отказа при гамма – распределении

- Средняя наработка (МО наработки) до отказа

,

(7.15)

- Дисперсия наработки до отказа

.

(7.16)

Помимо рассмотренных законов распределения, в качестве моделей надежности объектов могут использоваться и другие, например: распределение Вейбулла, хорошо описывающее наработку объектов до отказа по усталостным разрушениям, распределение Релея, распределение Эрланга и т. п.

Контрольные вопросы и задачи:

1. Как описывается изменение плотности распределения отказов при экспоненциальном распределении наработки до отказа?

2. Получите расчетное выражение для ВБР, ВО и ИО при экспоненциальном распределении наработки до отказа?

3. Как связаны числовые характеристики наработки до отказа с интенсивностью отказов при экспоненциальном распределении наработки до отказа?

4. Для описания надежности каких объектов используется логарифмически-нормальное распределение?

5. Какой из параметров в выражении плотности распределения отказов при гамма-распределении наработки является параметром формы и параметром масштаба? Известно, что серийно выпускаемая деталь имеет экспоненциальное распределение наработки до отказа с параметром λ= 10 ^-5 час^-1. Деталь используется конструктором при разработке нового прибора. Назначенный ресурс прибора предполагается T_н = 10 ⁴ час. Определить интересующую конструктора:

1) среднюю полезную наработку детали к моменту T_н;

2) вероятность того, что деталь безотказно проработает в интервале наработки [ 0, T_н ];

3)вероятность того, что деталь безотказно проработает в интервале наработки [ 10 ³, 10 ⁴ час ]?

6. На сборку прибора поступила деталь, прошедшая испытания на надежность. Известно, что наработка до отказа детали подчиняется экспоненциальному распределению с параметром λ = 5 · 10 ^-5 час ^-1. Определить вероятность того, что при монтаже прибора в него будут поставлены детали, наработка до отказа которых будет находиться в интервале [ 10 ³, 10 ⁴час ]?