Уравнение теплопроводности

Уравнение теплопроводности для нестационарного случая

Распределение тепла в теле называют нестационарным, если температура тела зависит как от положения точки, так и от времени.

Обозначим через и = и (М, t) температуру в точке М однородного тела, ограниченного поверхностью S, в момент времени t. Известно, что количество теплоты dQ, поглощаемой за время dt, выражается равенством

, (1)

где dS − элемент поверхности, k − коэффициент внутренней теплопроводности, − производная функции и по направлению внешней нормали к поверхности S. Так как распространяется в направлении понижения температуры, то dQ > 0, если > 0, и dQ < 0, если < 0.

Из равенства (1) следует

Теперь найдем Q другим способом. Выделим элемент dV объема V, ограниченного поверхностью S. Количество теплоты dQ, получаемой элементом dV за время dt, пропорционально повышению температуры в этом элементе и массе самого элемента, т.е.

, (2)

где плотность вещества, коэффициент пропорциональности, называемый теплоемкостью вещества.

Из равенства (2) следует

Таким образом,

где . Учитывая, что = , , получим

Заменяя правую часть равенства с помощью формулы Остроградского – Грина, получим

или

для любого объема V. Отсюда получаем дифференциальное уравнение

которое называют уравнением теплопроводности для нестационарного случая.

Если тело есть стержень, направленный по оси Ох, то уравнение теплопроводности имеет вид

. (3)

Рассмотрим задачу Коши для следующих случаев.

1. Случай неограниченного стержня. Найти решение уравнения (3) (t > 0, ), удовлетворяющее начальному условию . Используя метод Фурье, получим решение в виде

− интеграл Пуассона.

2. Случай стержня, ограниченного с одной стороны. Решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию и краевому условию , выражается формулой

= + .

3. Случай стержня, ограниченного с двух сторон. Задача Коши состоит, чтобы при х = 0 и х = l найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию и двум краевым условиям, например, или .

В этом случае частное решение ищется в виде ряда

где

для краевых условий ,

и в виде ряда

где

для краевых условий .

Пример. Найти решение уравнения

, ,

удовлетворяющее начальным условиям

и краевым условиям .

□ Решение задачи Коши будем искать в виде

где

= + =

= = +

+ = .

Таким образом,

или

. ■

Уравнение теплопроводности для стационарного случая

Распределение тепла в теле называют стационарным, если температура тела и зависит от положения точки М (х, у, z), но не зависит от времени t, т.е.

и = и (М) = и (х, у, z).

В этом случае 0 и уравнение теплопроводности для стационарного случая обращается в уравнение Лапласа

, (1)

которое часто записывают в виде .

Чтобы температура и в теле определялась однозначно из этого уравнения, нужно знать температуру на поверхности S тела. Таким образом, для уравнения (1) краевая задача формулируется следующим образом.

Найти функцию и, удовлетворяющую уравнению (1) внутри объема V и принимающую в каждой точке М поверхности S заданные значения

. (2)

Эта задача называется задачей Дирихле или первой краевой задачей для уравнения (1).

Если на поверхности тела температура неизвестна, а известен тепловой поток в каждой точке поверхности, который пропорционален , то на поверхности S вместо краевого условия (2) будем иметь условие

. (3)

Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего краевому условию (3), называется задачей Неймана или второй краевой задачей.

Для плоских фигур уравнение Лапласа записывается в виде

. (4)

Такой же вид имеет уравнение Лапласа и для пространства, если и не зависит от координаты z, т.е. и (М) сохраняет постоянное значение при перемещении точки М по прямой, параллельной оси Oz.

Заменой , уравнение (4) можно преобразовать к полярным координатам

где .

С уравнением Лапласа связано понятие гармонической функции. Функция называется гармонической в области D, если в этой области она непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа.

Пример. Найти стационарное распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, если на концах стержня , .

□ Имеем одномерный случай. Требуется найти функцию и, удовлетворяющую уравнению и краевым условиям , . Общее уравнение указанного уравнения имеет вид . Учитывая краевые условия, получим

Таким образом, распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью линейно. ■

Задача Дирихле для круга

Пусть дан круг радиуса R с центром в полюсе О полярной системы координат. Надо найти функцию , гармоническую в круге и удовлетворяющую на его окружности условию , где − заданная функция, непрерывная на окружности. Искомая функция должна удовлетворять в круге уравнению Лапласа

Используя метод Фурье, можно получить

− интеграл Пуассона.

Пример. Найти стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластинке радиуса R, верхняя половина поддерживается при температуре , а нижняя – при температуре .

□ Если , то , а если , то . Распределение температуры выражается интегралом

= .

Пусть точка расположеиа в верхнем полукруге, т.е. ; тогда изменяется от до , и этот интервал длины не содержит точек . Поэтому введем подстановку , откуда , . Тогда получим

= = =

или

Так правая часть отрицательна, то и при удовлетворяет неравенствам . Для этого случая получаем решение

или ().

Если же точка расположена в нижнем полукруге, т.е. , то интервал изменения содержит точку , но не содержит 0, и можно сделать подстановку , откуда , , Тогда для этих значений имеем

= =

= .

Проведя аналогичные преобразования, найдем

().

Так как правая часть теперь положительна , то . ■

Метод конечных разностей для решения уравнения теплопроводности

Пусть требуется найти решение уравнения

, (1)

удовлетворяющее:

начальному условию

, (2)

и краевым условиям

, , (3)

, . (4)

Итак, требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3), (4), т.е. требуется найти решение в прямоугольнике, ограниченном прямыми , , , , если заданы значения искомой функции на трех его сторонах , , .

Построим прямоугольную сетку, образованную прямыми

где

− шаг вдоль оси Ох;

− шаг вдоль оси Оt.

Введем обозначения:

, , .

Из понятия конечных разностей можно записать

, (5)

или

; (6)

аналогично

. (7)

Учитывая формулы (6), (7) и введенные обозначения, запишем уравнение (1) в виде

= .

Отсюда получим расчетную формулу

. (8)

Из (8) следует, что если известны три значения к k -ом слое сетки: , , , то можно определить значение в (k + 1)-ом слое.

Начальное условие (2) позволяет найти все значения на прямой ; краевые условия (3), (4) позволяют найти значения на прямых и . По формуле (8) находим значения во всех внутренних точках следующего слоя, т.е. для k = 1. Значения искомой функции в крайных точках известны из граничных условий (3), (4). Переходя от одного слоя сетки к другому, определяем значения искомого решения во всех узлах сетки.

Формула (8) справедлива, если шаги и выбраны так, что выполняется неравенство

т.е. при . Если , то формула (8) значительно упрощается:

. (9)

Замечание. При решении конкретной задачи для того, чтобы контролировать правильность хода решения и для того, чтобы нагляднее представить характер распространения тепля с стержне (либо другой физической величины, если рассматривается другой физический процесс) удобно представлять графически результаты расчета на каждом слое сетки (начать следует с графического представления начального условия).

Пример. Найти методом конечных разностей приближенное решение уравнения

удовлетворяющее:

начальному условию

, , (1)

и краевым (граничным)условиям

, , . (2)

□ Выберем шаг по оси Ох, равным . Шаг по оси Ot выберем, исходя из условия = 0,01. При таком выборе расчеты можно вести по формуле (9). Разбиваем прямоугольник, в котором разыскивается решение, линиями и и проводим нумерацию узлов полученной сетки: