Виды моделей и их назначение

Математические модели могут быть классифицированы по следующим основным принципам:

- способу получения модели – теоретические и экспериментальные;

- виду уравнений, используемых в моделях - линейные и нелинейные;

- способу представления свойств объекта - аналитические и имитационные;

- наличию в модели случайных параметров - детерминированные и стохастические;

- изменению выходных переменных времени - статические (стационарные) и динамические (нестационарные);

- по размерности - одномерные, многомерные.

Рассмотрим более подробно некоторые из видов моделей представленной выше классификации.

По способам получения математические модели делятся на теоретические и экспериментальные.

Теоретические модели разрабатываются на основе описания физи­ческих процессов функционирования объекта, а экспериментальные - на основе изучения поведения объекта в условиях внешней среды, рассматривая его как "черный ящик". Экспериментальные модели не учитывают всего комплекса физических свойств элементов исследуемой объекта, а лишь устанавливают в процессе эксперимента связь между отдельными параметрами системы. Такие модели дают адекватное описание исследуемых процессов лишь в ограниченной области. Примером таких моделей может быть регрессионный анализ, планирование эксперимента и др. Поэтому экспериментальные математические модели носят чаще всего частный характер, в то время как физические модели отражают общие закономерности явлений и процессов, протекающих как во всей технологической системе, так и в каждом ее элементе в отдельности.

На практике наиболее часто применяются комбинированные модели, где используются математические представления физических законов и различные математические выражения, полученные экспериментальным путём, описывающие условия и влияющие факторы, а также связи параметров рассматриваемого объекта.

Математические модели могут быть линейными и нелинейными. Линейные модели содержат только линейные функции переменных и их производных. Характеристики большинства элементов реальных систем нелинейные.

По способу представления свойств объекта математические модели делятся на аналитические и имитационные.

Аналитические модели представляются в виде явных математических выражений одним из следующих способов:

- аналитически когда получают в общем виде явные зависимости для искомых величин;

- численно - когда для решения уравнений применяют численные методы;

- качественно - когда, не имея решений в явном виде, можно найти некоторые свойства системы, например, устойчивость и т.п.

Они характеризуются высокой экономичностью, однако их можно строго построить не во всех случаях. Чаще всего принимаются определенные допущения, снижающие точность модели.

Для имитационной модели характерна реализация моделирующего алгоритма посредством имитации элементарных явлений, составляющих исследуемый процесс с сохранением их логической структуры, последовательности протекания во времени и особенно характера и состава информации о состоянии процесса. В этом случае моделирующий алгоритм описывает исследуемые физические процессы, соблюдая критерии подобия, что приближает модель к реальному процессу. Примерами имитационных математических моделей являются разнообразные модели систем массового обслуживания.

Детерминированные математические модели характеризуются наличием однозначной аналитической связи между входными и выходными параметрами системы; вероятностные предполагают известные зависимости между законами распределения входных и выходных величин, рассматриваемых как случайные. Причиной этому могут быть как сильное влияние различных случайных возмущений, так и принципиально случайный характер самого явления.

Как случайные, так и детерминированные модели могут быть статическими (независимыми от времени) и динамическими, состояние которых существенно изменяется во времени. Если математическая модель отражает статическое состояние исследуемою объекта при неизменных внешних управляющих воздействиях, то такую модель называют статической. Если математическая модель дополнительно отображает еще и переходные процессы в объекте, то такую модель называют динамической.