Векторный потенциал магнитного поля

Пусть требуется рассчитать магнитное поле в однородной среде (m= const), в кото­рой протекает электрический ток, плотность которого задана в виде некоторой функции ко­ординат . Для определения векторов поля и необходимо решить систему уравнений:

(1)

(2)

(3)

Введем новую векторную величину , позволяющую исключить из системы урав­нений неизвестные и и получить одно дифференциальное уравнение, решение кото­рого известно в математике.

Пусть вектор , получивший название вектора потенциала магнит­ного поля, удовлетворяет условию:

Так как divrot любого вектора тождественно равна нулю, то уравнение (1) выполняется тождественно:

Из уравнения (2) следует:

Из курса математики известно, что .

В полученном уравнении можно принять , не нарушая равен­ства . Тогда получим:

- уравнение Пуассона для векторного потенциала магнит­ного поля для областей среды, где протекают токи проводимости. Для областей среды, где токи проводи­мости отсутствуют, уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа . Каж­дое из этих векторных уравнений в декар­товой системе координат распадается на три ска­лярных в направлении коорди­натных осей:

Решения уравнений Пуассона для векторного потенциала имеют вид (без вы­вода):

; ;

Если решение для векторного потенциала найдено, то другие неиз­вестные вели­чины выражаются через векторный потенциал:

Если токи протекают по линейным проводникам, поперечные размеры ко­торых весьма малы по сравнению с их длиной, то то выражение для вектор­ного потенциала можно упростить следующим образом:

где - ток в проводнике

В последнем уравнении интегрирование по объему заменяется интег­ри­рованием по контурам линейных проводов, что упрощает его решение.