Дифференциальное уравнение вынужденных механических и электромагнитных колебаний и его решение

Для того чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии. Это возможно с помощью периодически действующего, меняющегося по гармоническому закону фактора:

.

(8.1)

a) Для механических колебаний роль х (t) играет внешняя вынуждающая сила:

.

(8.2)

Для электромагнитных колебаний - роль х (t) играет внешняя (подводимая) к контактам ЭДС (напряжение). U (t) = U _o cos w t

Рассмотрим закон движения пружинного маятника:

,

(8.3)

преобразовав это уравнение получаем

.

(8.4)

б) Для электрического колебательного контура роль х (t) играет проводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону ЭДС или напряжение (рис. 8.1):

Рис. 8.1. Колебательный контур, в котором возникают вынужденные электрические колебания.

	.	(8.5)
		(8.6)

Введем обозначения:

R / L = 2d,

1 / LC = w²_о

.

(8.7)

Вынужденными механическими колебаниями или вынужденными электромагнитными колебаниями называются колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся ЭДС.

.

(8.8)

уравнение описывающее вынужденные колебания величины S.

Решением этого уравнения является сумма решений однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения.

S_общее= S_{р. о. д. у.} + S_{ч. р. н. д. у.}

.

(8.9)

Решением однородного дифференциального уравнения является функция:

.

(8.10)

Частное решение уравнения (8.9) будем искать в виде:

.

(8.11)

Найдем и

= i h S_o e^ith

= - h² S_o e^ith,

и подставим выражения , , S в уравнение (8.9), получим

.

(8.12)

Равенство (8.12) должно выполнятся для любых моментов t.

Тогда h = w, а S_o (-h² + 2dih + w²_о) = х_о

(8.13)

Представим S_o в комплексной форме:

S_o = А е^-ij,

тогда

	;	(8.14)
	;	(8.15)

S_{ч.р.н.д.у.} = A e ^{i(wt - j)} или вещественная часть, являющаяся частным решением уравнения (8.9) имеет вид:

,

(8.16)

где А и j определяются формулами (8.14), (8.15).

Частным решением неоднородного уравнения (8.9) является функция:

	,	(8.17)
	,	(8.18)

полное решение уравнения (8.9).

Слагаемое S₁ играет существенную роль при установлении колебаний (в начальной стадии процесса), пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого (8.14).

Графически вынужденные колебания могут быть представлены так:

Рис. 8.2. Установление вынужденных колебаний.

В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой w и являются гармоническими, амплитуда и фаза колебаний определяются формулами (8.14) и (8.15) и зависят от w.

Запишем формулы (8.14) и (8.15) применительно к механическим и электромагнитным колебаниям для установившегося режима:

1) механические колебания:

w²_о = k / m;

d = r / 2m;

	,	(8.19)
	.	(8.20)

2) электромагнитные колебания:

w²_о = 1 / LC;

d = R / 2L;

q = q_max cos (wt - a);

(8.21)

По определению

	.	(8.22)
	,	(8.23)

tg j = tg(a - p / 2).

.

(8.24)

Ток отстает по фазе от напряжения (j > 0), если wL > 1 / wC, и опережает напряжение (j < 0), если wL < 1 / wC.