Теоремы о пределах функций

Сравнение бесконечно-малых функций.

Определение 1. является в т. бесконечно-малой более высокого порядка, чем , если

Определение 2. и - бесконечно-малые одного порядка, если

(и конечен)

Определение 3. и - эквивалентны, если

Пример. т. 0.

одного порядка

Теорема 1. (о действиях над пределами)

Пусть существует и , .

Тогда существуют пределы , , .

1)

2)

3)

Следствия.

4)

5)

Теорема 2. (о двустороннем ограничении)

Пусть и

Теорема 3. (о сохранении знака)

Если существует и () в -окрестности точки а => ()

Доказательство (от противного )

Пусть , а .

Тогда => не меньше , следовательно,не стремиться к b

Теорема 4. (о сравнении пределов)

Если

Доказательство

по теореме 3,

Теорема 5. Если ↑(↓) и M => существует