Доказательство свойства 11)

Доказательство свойства 12). Обозначим

Доказательство проводим аналогично дискретному случаю.

Доказательство свойства 13). такое, что выполняется неравенство

Возьмем , тогда получим

Доказательство свойства 14). . Применим неравенство Йенсена к .

Доказательство свойства 15) следует из свойства 14).

Доказательство свойства 16). Делаем замену

Применяем неравенство

Для абсолютно-непрерывных распределений

(можно предполагать, что , и, соответственно, ).

Пусть и имеют совместное распределение с плотностью

Если и независимы, то и .
Пусть . Тогда

Т.е. для справедлива формула свертки

Аналогично

и аналогично .

При

Пример. Пусть . Тогда .

5. Характеристические функции

Определение. Характеристической функцией случайной величины называют

Т.е. для абсолютно непрерывных функций распределения – преобразование Фурье .

Характеристическая функция существует для любой случайной величины , так как

Свойства:

1) ,
2)
3) если – независимы, то
4) – равномерно по непрерывная функция
5) Если -й момент , , то

6) Если , то в окрестности точки

7) Если , то определена при комплексных при , и аналитична при и непрерывна включая
8) , где * – комплексное сопряжение, т.е., если и одинаково распределены, то характеристическая функция вещественна
9) Если имеет плотность, то при

Доказательства свойств 1), 2), 3), 7), 8), 9) очевидны.
Доказательство свойства 4).

Выбираем , а затем .

Доказательство свойства 5) следует из дифференцирования по под знаком интеграла

Доказательство свойства 6) следует из 5)

Формулы обращения (обратное преобразование Фурье).

Если – функция распределения , – характеристическая функция, то для любых точек непрерывности и

и если интегрируема, то

Если , то существует плотность такая, что