Соотношения сходимостей

1. Из сходимости -п.н. следует сходимость по вероятности.

Доказательство. Предположим противное. Пусть , т.е. такого, что

подпоследовательность и такие, что и и .

Заметим, что в силу того, что для бесконечного числа номеров . , так как и , т.е. при . Следовательно, .

2. Пусть и , тогда из сходимости в следует сходимость в . Это следует из неравенства , где .

Аналогично из сходимости в следует сходимость в при .

3. Из сходимости в следует сходимость по вероятности.

Доказательство. Из неравенства Чебышева следует, что

4. Пусть сходятся по вероятности к , и - равномерно ограничены (т.е. ). Тогда сходится к в .

Доказательство. Рассмотрим функции , такие, что , и . Предположим, что в , т.е. и подпоследовательность такие, что

Обозначим .

.

Заметим, что ; следовательно, . Но , значит , т.е. , и, следовательно, .

5. Пусть – функция распределения константы (), и последовательность слабо сходится к . Тогда сходится к по вероятности.