double arrow

Геометрическое распределение


Геометрическое распределение (Фарри). Это закон распределения дискретной случайной величины, связанный с последовательностью независимых испытаний, при этом случайной величиной является число проведённых испытаний до первого осуществления наблюдаемого события.

Например

ü число выстрелов до первого попадания в цель;

ü число проверенных изделий до первого появления бракованного изделия;

ü число подбрасываний кубика до выпадения шести очков и т.п.

Если случайная величина Х имеет геометрическое распределение, то она будет принимать значения k - натуральные числа 1, 2, 3,…, счетное число значений, и p это вероятность наступления события в одном испытании, то вероятность

(14)

Замечание: при любом значении p, не равном нулю или единице, наивероятнейшим значением является единица. C ростом k вероятности монотонно убывают.

Вероятности для последовательных значений k образуют геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем (1-p), откуда и название «геометрическое распределение».

Основные числовые характеристики геометрического распределения:

1) математическое ожидание




(15)

2) дисперсия

(16)

Пример 5: Кубик подбрасывается до тех пор, пока не выпадет 6 очков. Найти вероятность, что выпадение 6 очков случится за 5 бросков.

Решение:

Для первого броска (k = 1), вероятность успеха p(1) = 1/6.

Для второго (k = 2) это вероятность успеха во втором броске и неудачи в первом по формуле (14):

для третьего броска:

для четвертого броска:

для пятого броска:

Ответ: вероятность, что выпадение 6 очков случится за 5 бросков равна 0,08.

Пример 6: Ролик кодового замка содержит 7 возможных цифр, из которых нужно выбрать одну. Какова вероятность, что его можно открыть точно с 3-го раза.

Решение:

Вероятность правильного единичного выбора

Распределение геометрическое значит искомую вероятность найдем по формуле (14)

Если замок состоит из нескольких независимых роликов, то вероятность его случайного открывания подчиняется уже другому распределению – биномиальному.

Ответ: вероятность, что замок откроется точно с 3-го раза равна 0,105.

Пример 7: Контроль качества партии продукции проводится до обнаружения первого бракованного изделия. В результате серии проверок обнаружили, что бракованное изделие впервые появлялось в среднем при десятом испытании. Оценить вероятность появления брака.

Решение:

Пусть Х – число испытаний до первого появления бракованного изделия. Х случайная величина имеет геометрическое распределение. По условию ее среднее значение равно

Так как , то .

Ответ: вероятность появления брака равна 0,1.







Сейчас читают про: