Геометрическое распределение (Фарри). Это закон распределения дискретной случайной величины, связанный с последовательностью независимых испытаний, при этом случайной величиной является число проведённых испытаний до первого осуществления наблюдаемого события.
Например
ü число выстрелов до первого попадания в цель;
ü число проверенных изделий до первого появления бракованного изделия;
ü число подбрасываний кубика до выпадения шести очков и т.п.
Если случайная величина Х имеет геометрическое распределение, то она будет принимать значения k - натуральные числа 1, 2, 3,…, счетное число значений, и p это вероятность наступления события в одном испытании, то вероятность
(14)
Замечание: при любом значении p, не равном нулю или единице, наивероятнейшим значением является единица. C ростом k вероятности монотонно убывают.
Вероятности для последовательных значений k образуют геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем (1- p), откуда и название «геометрическое распределение».
|
|
Основные числовые характеристики геометрического распределения:
1) математическое ожидание
(15)
2) дисперсия
(16)
Пример 5: Кубик подбрасывается до тех пор, пока не выпадет 6 очков. Найти вероятность, что выпадение 6 очков случится за 5 бросков.
Решение:
Для первого броска (k = 1), вероятность успеха p (1) = 1/6.
Для второго (k = 2) это вероятность успеха во втором броске и неудачи в первом по формуле (14):
для третьего броска:
для четвертого броска:
для пятого броска:
Ответ: вероятность, что выпадение 6 очков случится за 5 бросков равна 0,08.
Пример 6: Ролик кодового замка содержит 7 возможных цифр, из которых нужно выбрать одну. Какова вероятность, что его можно открыть точно с 3-го раза.
Решение:
Вероятность правильного единичного выбора
Распределение геометрическое значит искомую вероятность найдем по формуле (14)
Если замок состоит из нескольких независимых роликов, то вероятность его случайного открывания подчиняется уже другому распределению – биномиальному.
Ответ: вероятность, что замок откроется точно с 3-го раза равна 0,105.
Пример 7: Контроль качества партии продукции проводится до обнаружения первого бракованного изделия. В результате серии проверок обнаружили, что бракованное изделие впервые появлялось в среднем при десятом испытании. Оценить вероятность появления брака.
Решение:
Пусть Х – число испытаний до первого появления бракованного изделия. Х случайная величина имеет геометрическое распределение. По условию ее среднее значение равно
Так как , то .
Ответ: вероятность появления брака равна 0,1.
|
|