Ряд Лорана

3 4 5 6 7 8 9

Глава 2. ИНТЕГРАЛ ОТ ФКП. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА.

§1. Интеграл Коши (от ФКП)

Определение. Кривая на комплексной плоскости - отображение , где .

Если и - непрерывные кусочно-гладкие функции, то - непрерывная кусочно-гладкая кривая.

Определение. Пусть дано разбиение кривой точками . - длина дуги - максимальная длина участка разбиения дуги.

(1)

- интеграл от ФКП , если этот предел существует и конечен.

Выразим интеграл Коши (1) через криволинейные интегралы от функций действительных переменных.

(2)

В правой части формулы – криволинейные интегралы 2 рода.

Из формулы (2) из соответствующих свойств криволинейных интегралов вытекают основные свойства интеграла от ФКП:

1) Линейность. (Не нуждается в пояснениях)

2) Аддитивность по путям интегрирования.

3) , где - длина кривой .

4) Равномерный предел последовательности непрерывных функций интегрируем и .

5) Замена переменной происходит аналогично действительным криволинейным интегралам.

§2. Теорема Коши (Интегральная)

ТЕОРЕМА 1. (Коши) Пусть дана функция , аналитичная в области . .

Тогда интеграл от по любому замкнутому несамопересекающемуся кусочно-гладкому контуру равен 0:

Замечание. Такой контур (несамопересекающийся, кусочно-гладкий) будем называть кривой Жордано. (Без доказательства)

ТЕОРЕМА 2. (Обобщённая теорема Коши) Пусть (т. е. аналитичная в и непрерывная в . - Жорданова кривая. Тогда

(Без доказательства)

ТЕОРЕМА 3. (Интегральная формула Коши) Пусть аналитична в , где - односвязная область, её граница - кусочно-гладкая Жорданова кривая, . Тогда

(Верхний случай – точка внутри области. Нижний – точка вне области. Доказательство нулевого результата вытекает из теоремы 2. В случае принадлежности точки к границе области () на пути интегрирования попадается сильная неинтегрируемая особенность (В одной из точек придётся делить на 0, невозможно взять интеграл Коши). Этот случай в данном курсе не рассматривается.)

Пример. Вычислить в случаях а)охватывает , но не включает . б) Наоборот в)Охватывает обе точки

Решение. а)По интегральной формуле Коши .

Получим

б)Аналогично

в)Разделим особенности

Можно разбить контур на два более простых (с общей границей) и проинтегрировать по каждому.

Некоторые следствия

ТЕОРЕМА 4. (Ллувилля) Если функция аналитична и ограничена на по модулю на всей комплексной плоскости, то она постоянна.

()

Доказательство: 1)Сначала оценим интеграл, используя интегральную формулу Коши.

С другой стороны из свойств интеграла получим:

Т. к. , а (это длина окружности), по теореме об интегральном среднем выносим максимум.

2)по свойствам модуля.

, т. е. для произвольных .

Степенные ряды, в том числе ряды Тейлора, на действительной оси и на комплексной плоскости имеют много общего и верны основные результаты:

Для разложения ФКП в ряд Тейлора лучше пользоваться стандартными разложениями.

Наиболее близок к степенному ряду ряд вида

(1)

- ряд Лорана (по степеням или относительно точки ).

ТЕОРЕМА 1. (Лорана) Пусть функция аналитична в кольце . Тогда внутри (т. е. для любой точки разлагается в ряд Лорана

, где

Замечания: 1) В окрестности бесконечно удалённой точки функция разлагается в ряд Лорана по степеням , т. е. функция .

2) В окрестности конечной точки можно выделить .

Здесь первая сумма – главная (иррегулярная) часть ряда Лорана, вторая сумма – правильная (регулярная) часть ряда Лорана. Поведение иррегулярной части тяжело описать аналитически.

По ряду Лорана будем судить об аналитичности функции в точке.

- имеем ошибку деления на 0 в .