Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Ряд Лорана




.

Глава 2. ИНТЕГРАЛ ОТ ФКП. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА.

§1. Интеграл Коши (от ФКП)

Определение. Кривая на комплексной плоскости - отображение , где .

Если и - непрерывные кусочно-гладкие функции, то - непрерывная кусочно-гладкая кривая.

Определение. Пусть дано разбиение кривой точками . - длина дуги - максимальная длина участка разбиения дуги.

(1)

- интеграл от ФКП , если этот предел существует и конечен.

Выразим интеграл Коши (1) через криволинейные интегралы от функций действительных переменных.

.

.

(2)

В правой части формулы – криволинейные интегралы 2 рода.

Из формулы (2) из соответствующих свойств криволинейных интегралов вытекают основные свойства интеграла от ФКП:

1) Линейность. (Не нуждается в пояснениях)

2) Аддитивность по путям интегрирования.

3) , где - длина кривой .

4) Равномерный предел последовательности непрерывных функций интегрируем и .

5) Замена переменной происходит аналогично действительным криволинейным интегралам.

§2. Теорема Коши (Интегральная)

ТЕОРЕМА 1. (Коши) Пусть дана функция , аналитичная в области . .

Тогда интеграл от по любому замкнутому несамопересекающемуся кусочно-гладкому контуру равен 0:

.

Замечание.Такой контур (несамопересекающийся, кусочно-гладкий) будем называть кривой Жордано. (Без доказательства)

ТЕОРЕМА 2. (Обобщённая теорема Коши) Пусть (т. е. аналитичная в и непрерывная в . -Жорданова кривая. Тогда

(Без доказательства)

ТЕОРЕМА 3. (Интегральная формула Коши)Пусть аналитична в , где - односвязная область, её граница - кусочно-гладкая Жорданова кривая, . Тогда

(Верхний случай – точка внутри области. Нижний – точка вне области. Доказательство нулевого результата вытекает из теоремы 2. В случае принадлежности точки к границе области () на пути интегрирования попадается сильная неинтегрируемая особенность (В одной из точек придётся делить на 0, невозможно взять интеграл Коши). Этот случай в данном курсе не рассматривается.)

Пример.Вычислить в случаях а)охватывает , но не включает . б) Наоборот в)Охватывает обе точки

Решение. а)По интегральной формуле Коши .

Получим

б)Аналогично

в)Разделим особенности

Можно разбить контур на два более простых (с общей границей) и проинтегрировать по каждому.

Некоторые следствия

ТЕОРЕМА 4. (Ллувилля) Если функция аналитична и ограничена на по модулю на всей комплексной плоскости, то она постоянна.

()

Доказательство: 1)Сначала оценим интеграл, используя интегральную формулу Коши.

С другой стороны из свойств интеграла получим:

Т. к. , а (это длина окружности), по теореме об интегральном среднем выносим максимум.




2)по свойствам модуля.

, т. е. для произвольных .

Степенные ряды, в том числе ряды Тейлора, на действительной оси и на комплексной плоскости имеют много общего и верны основные результаты:

Для разложения ФКП в ряд Тейлора лучше пользоваться стандартными разложениями.

Наиболее близок к степенному ряду ряд вида

(1)

- ряд Лорана (по степеням или относительно точки ).

ТЕОРЕМА 1. (Лорана)Пусть функция аналитична в кольце . Тогда внутри (т. е. для любой точки разлагается в ряд Лорана

, где

Замечания: 1) В окрестности бесконечно удалённой точки функция разлагается в ряд Лорана по степеням , т. е. функция .

2) В окрестности конечной точки можно выделить .

Здесь первая сумма – главная (иррегулярная) часть ряда Лорана, вторая сумма – правильная (регулярная) часть ряда Лорана. Поведение иррегулярной части тяжело описать аналитически.

По ряду Лорана будем судить об аналитичности функции в точке.

- имеем ошибку деления на 0 в .

3)Относительно точки имеем

,

Где первая сумма – правильная часть ряда, ; вторая сумма – главная часть ряда Лорана, даст особенности на бесконечно удалённой точке.

Упражнение (Пример 2).Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки а)б) , в обоих случаях выделить главную и правильную части.

Решение.

а) . - главная часть, на нуле обращается в .

б) . В обращаются .





Дата добавления: 2014-02-12; просмотров: 1107; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8575 - | 7396 - или читать все...

Читайте также:

 

54.81.69.220 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.005 сек.