Рассмотрим бесконечную последовательность комплексных чисел
Утверждение. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда одновременно сходятся и .
Определение. Число называется пределом последовательности и обозначается , если . (То есть расстояние от элемента последовательности до предела меньше )
называется пределом последовательности , если . (Окрестность бесконечности, - заштрихованная область)
Видим, что сходимость последовательности комплексных чисел сводится к сходимости двух последовательностей действительных чисел.
Утверждение.
(Чтобы последовательность КЧ сходилось к конечному числу, должны сходиться модуль и аргумент -го элемента)
Пример 1. Возьмём последовательность . Какой бы радиус мы не взяли, с некоторого номера в область станут попадать элементы последовательности. (- видим, что каждый следующий элемент всегда меняет значение аргумента, последовательность не стремится к какому-либо конкретному числу.
Упражнение 2. Доказать, используя определение предела: а) . б) . в) .
|
|
Доказательство. а) ,
- условия равносильны, выр-я эквивалентны.
б)
(Переобозначаем ) - снова эквивалентные условия.
в)
-аналогично.
Аналогично вопросы сходимости рядов, составленных из комплексных чисел, сводятся к изучению сходимости рядов, составленных отдельно из действительных и мнимых частей.