Формула замены переменных в двойном интеграле

Пусть непрерывные функции х = j (u, v), у = y (u, v) осуществляют взаимно однозначное отображение области D ^* на область D и имеют непрерывные частные производные первого порядка. Пусть в области D на плоскости О х у задана непрерывная функция z = f (х, у). Каждому значению функции z = f (х, у) в области D соответствует равное значение функции

z = F (u, v) в области D ^*, где F (u, v) = f [ j (u, v), y (u, v) ].

Разобьем область D ^* на частичные области и построим соответствующее разбиение области D. Выберем в соответствующих частичных областях точки (u, v) и (х, у) так, чтобы значения функций F (u, v) и f (х, у) в них совпадали, и составим интегральные суммы для функций

f (х, у) и F (u, v) по областям D и D ^*. Получим

≈ , (7)

где Δ S ≈ | J | Δ S ٭и J = J (u, v) – якобиан функций j (u, v) и y (u, v). Переходя в равенстве (7) к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра d ^* частичных областей D_k ^* (в силу непрерывности отображения (1) будет стремиться к нулю и наибольший из диаметров d частичных областей в D), будем иметь: = или

= , (8)

где J (u, v) = .

Т.о., для того чтобы преобразовать двойной интеграл, заданный в декартовых координатах, в двойной интеграл в криволинейных координатах, нужно заменить в подынтегральной функции f (х, у) переменные х и у соответственно через j (u, v) и y (u, v), а элемент площади dxdy - его выражением в криволинейных координатах: dxdy = | J | du dv.