Достаточные условия устойчивости решений

Достаточные условия устойчивости или неустойчивости решений однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами легко установить из вида корней характеристического уравнения, соответствующих данной системе.

1. Если корни характеристического уравнения

, (10.12)

однородной системы с постоянными коэффициентами

, (10.13)

где - вектор-функция;

- производная вектор-функции;

А – матрица коэффициентов системы; Е –единичная матрица, не положительны, т.е. , то нулевое или тривиальное решение исследуемой системы будет устойчиво по Ляпунову.

2. Если действительные части корней Reхарактеристического уравнения (10.12) однородной системы с постоянными коэффициентами (10.13) отрицательны, т.е. Re<0, то тривиальное решение исследуемой системы будет асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Необходимым условием отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения

(10.14)

являются неравенства Кроме того, для отрицательности всех действительных частей корней характеристического уравнения (10.14) необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры

(10.15)

матрицы Гурвица, имеющей вид:

, (10.16)

которая получается заменой чисел a_i с индексами i>n или i< 0 нулями (критерий Гурвица).

3. Если среди корней характеристического уравнения (10.12) однородной системы с постоянными коэффициентами (10.13) имеется хотя бы один положительный корень >0, то тривиальное решение исследуемой системы будет неустойчиво по Ляпунову.

Для системы вида