double arrow

Линейные и квазилинейные уравнения


Лекция 11. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Часть 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Задания для самостоятельной работы

Исследовать на устойчивость решения систем

10.1. 10.2.

10.3. 10.4.

10.5. 10.6.

10.7. 10.8.

10.9. 10.11.


Рассмотрим уравнение вида

, (11.1)

в котором х1, х2, …, хn - независимые переменные функции u; - частные производные функции u по переменным х1, х2, …, хn .

Уравнение (11.1) называется уравнением в частных производных 1-го порядка. При этом, если уравнение (11.1) имеет вид

,(11.2)

то оно будет называться линейным уравнением, а если уравнение (11.1) линейно только относительно частных производных и имеет вид

,(11.3)

то оно будет называться квазилинейным уравнением. Уравнения (11.2) и (11.3) также называются «n»-мерными неоднородными уравнениями, если функции в этих уравнениях будут равны нулю, то тогда они будут называться однородными уравнениями. Таким образом, «мерность» уравнения определяется количеством независимых переменных х1, х2, …, хn.

Рассмотрим 2-х мерное квазилинейное однородное уравнение

, (11.4)

в котором для всех х и у выполняется неравенство




. (11.5)

Пусть , тогда уравнение (11.4) принимает вид

, (11.6)

Тогда по условию (17.5) коэффициент , в силу того, что , не может быть равен нулю, следовательно, может выполнятся только

или (11.7)

В уравнениях (11.7) переменная у присутствует лишь в качестве параметра. Зафиксируем ее значение, например, у = у1, тогда функция u1(x) = u(x,y1) и уравнением (7) принимает вид

.

Решением этого уравнения будет функция

.

Далее продолжим, зафиксируем у = у2, тогда функция u2(x) = u(x,y2) и уравнением (7) принимает вид

.

Решением этого уравнения будет функция

.

Продолжая далее, получим для у = уn,

.

Константы С1, С2, …, Сn между собой никак не связаны. Мы видим, что они связаны лишь с переменной у и, если охватить все возможные значения константы, то решение уравнения (11.7) необходимо записать в виде

. (11.8)

Если предположить, что , тогда уравнение (11.4) принимает вид

,

и по условию (11.5) коэффициент , в силу того, что , не может быть равен нулю, следовательно, может выполнятся только

или (11.9)

Далее поступая точно также, как мы поступали выше, только фиксируя значения х, получим х = х1, тогда функция u1(у) = u(у,х1) и уравнением (11.7) принимает вид

.

Решением этого уравнения будет функция

.

Далее продолжим, зафиксируем х = х2, тогда функция u2(х) = u(у,х2) и уравнением (17.7) принимает вид

.

Решением этого уравнения будет функция

.

Продолжая далее, получим для х = хn,

.

Константы С1, С2, …, Сn между собой никак не связаны. Мы видим, что они связаны лишь с переменной х и, если охватить все возможные значения константы, то решение уравнения (11.7) необходимо записать в виде



. (11.10)







Сейчас читают про: