Преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа это такое преобразование, которое ставит в соответствие комплекснозначной функции действительного

Часть 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Преобразование Лапласа это такое преобразование, которое ставит в соответствие комплекснозначной функции действительного переменного некоторую функцию комплексного переменного с помощью следующего соотношения

. (21.1)

Интеграл, стоящий в правой части, называют интегралом Лапласа функции . При этом эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

1. задана на множестве действительных чисел (на числовой прямой) R, причем для всех функция ;

2. при функция на любом ограниченном промежутке имеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода;

3. существуют такие числа и , что для всех функция является ограниченной - , причем точная нижняя граница числа равна числу (), которое называется показателем степени роста функции , следовательно, можно констатировать, что функция в данном случае имеет ограниченный рост.

Если функция имеет ограниченный рост, то является аналитической функцией комплексного переменного в полуплоскости Re , где - показатель степени роста функции , который еще называют абсциссой абсолютной сходимости интеграла Лапласа .

Резюмируя сказанное можно утверждать:

- комплекснозначная функция , непрерывная на интервале , за исключением изолированных точек*, и имеющая ограниченный рост, называется оригиналом;

- аналитическая функция комплексного переменного , определенная формулой (21.1) при Re , называется изображением оригинала .

Преобразование Лапласа (21.1) схематично можно записать в виде

≒.

Употребляется также обозначение вида

где - знак преобразования Лапласа.

Замечания.

1. Если функция является оригиналом, то и также будет оригиналом с тем же показателем роста.

2. Если функции , ,…,, являются оригиналами, то их линейная комбинация также будет оригиналом. Если функция является оригиналом, то функции (- положительное число), , (– действительное число), (- комплексное число) тоже будут оригиналами.

3. Можно утверждать, что если комплекснозначная функция является оригиналом, то функция , определяемая выражением

будет непрерывным на интервале оригиналом.

Непрерывность функции следует из абсолютной интегрируемости функции на каждом сегменте , где . Далее, если – показатель степени роста функции , а – положительное число больше , причем ( Re ), то в случае, когда имеем: