Критерий для проверки гипотезы о сравнении двух дисперсий

Пусть имеются две нормально распределенные генеральные совокупности Х и Y. Из них извлечены независимые выборки объемов соответственно п ₁ и п ₂, по которым вычислены исправленные выборочные дисперсии и . Требуется при заданном уровне значимос-ти α проверить нулевую гипотезу Н ₀: D (X) = D (Y) о равенстве дисперсий рассматривае-мых генеральных совокупностей. Учитывая несмещенность исправленных выборочных дисперсий, можно записать нулевую гипотезу так:

Н ₀: М () = М (). (19.6)

Замечание. Конечно, исправленные дисперсии, вычисленные по выборкам, обычно оказываются различными. При проверке гипотезы выясняется, является ли это различие незначимым и обусловленным случайными причинами (в случае принятия нулевой гипотезы) или оно является следствием того, что сами генеральные дисперсии различны.

В качестве критерия примем случайную величину

- (19.6)

- отношение большей выборочной дисперсии к меньшей. Она имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы k ₁ = n ₁ – 1 и k ₂ = n ₂ – 1, где п ₁ – объем выборки, по которой вычислена большая исправленная дисперсия, а п ₂ – объем второй выборки. Рассмотрим два вида конкурирующих гипотез:

- пусть Н ₁: D (X) > D (Y). Наблюдаемым значением критерия будет отношение большей из исправленных дисперсий к меньшей: . По таблице критических точек распреде-ления Фишера-Снедекора можно найти критическую точку F_набл (α; k ₁; k ₂). При

F_набл < F_кр нулевая гипотеза принимается, при F_набл > F_кр отвергается.

- если Н ₁: D (X) ≠ D (Y), то критическая область является двусторонней и определяется неравенствами F < F ₁, F > F ₂, где р (F < F ₁) = р (F > F ₂) = α/2. При этом достаточно найти правую критическую точку F ₂ = F_кр (, k ₁, k ₂). Тогда при F_набл < F_кр нулевая гипотеза принимается, при F_набл > F_кр отвергается.