double arrow

Транспортная модель распределения заемных средств

Классификация моделей формирования денежного запаса

Проблема определения оптимального денежного запаса, обеспечивающего операционную и инвестиционную деятельность компании, неразрывно связана с управлением материальными потоками. Исследование взаимодействия трех основных потоков (финансового, информационного и материального) не ограничивается инструментарием финансового менеджмента. Если предприятие обладает минимальным запасом денежных средств, то возникают издержки по пополнению этого запаса, так называемые «издержки на привлечение финансовых ресурсов». Если же компания накапливает значительный денежный запас, то увеличиваются издержки, связанные с неиспользованными возможностями (издержки хранения запаса).

Логистические модели оптимизации запаса денежных средств по признаку учета заемных средств следует разделить на модели без привлеченных ресурсов и модели, учитывающие возможность кредитования (табл. 2.4).

Таблица 2.4

Модели расчета величины денежного запаса

Признак классификации Модель
Без привлеченных ресурсов Баумоля
Миллера-Орра
Стоуна
Усовершенствованная модель Миллера-Орра для переходной экономики
С учетом кредитования Накопления задолженности
Кредитной линии

У. Баумоль справедливо утверждает, что денежную наличность фирмы можно рассматривать как запас денег, владелец которых готов обменять их на рабочую силу, сырье и другие виды материальных активов. Денежная наличность по существу не отличается от запаса обуви у производителя-обувщика, которую он готов обменять на деньги розничного торговца. Поэтому методы определения оптимальных размеров запасов можно применить для расчета запаса наличных денег, оптимального для компании при имеющихся издержках [14, с. 546].

Обозначим Е д доходность финансовых вложений в ценные бумаги (отражающую прибыль на каждый рубль, вложенный в ценные бумаги), а b издержки, связанные с совершением сделки по продаже ценных бумаг. Период T разделен на равные интервалы t. Объем денег, привлекаемых равномерно в течение периода T для пополнения запаса наличности обозначим C.

Допустим, что компания имеет возможность приобрести ценные бумаги доходностью 0,022 % в день (8,03 % в год). При этом постоянные затраты на совершение сделок компанией равны 1,2 тыс. руб. на каждую операцию. Определим оптимальный остаток денежных средств, равномерно расходуемых в течение квартала, учитывая, что общая величина всех платежей компании за квартал равна 90 000 тыс. руб. Проведя расчеты, получаем Сопт = 3 302,9 тыс. руб.:

.

При этом минимальные издержки компании равны 65,4 тыс. руб.

.

Денежный запас, равный 200 тыс. руб., приведет к полным затратам компании в размере 542 тыс. руб., а если компания будет держать денежный запас в объеме 10 000 тыс. руб., то ее полные затраты составят 110 тыс. руб. Компания сможет минимизировать свои полные затраты, сформировав денежный запас на уровне 3 302,9 тыс. руб. (табл. 2.5)

Таблица 2.5

Изменение затрат в микрологистической системе в зависимости

от денежного запаса по модели Баумоля при Е д = 0,022 % в день, тыс. руб.

Величина Значение
Запас денежных средств, С   1 000 2 000 3 000 3 303 4 000 10 000
Затраты на хранение денежных средств              
Затраты на привлечение денежных средств              
Полные затраты компании в квартал              

Значение запаса денежных средств возрастает при увеличении затрат на проведение операций с ценными бумагами и объема платежей, а уменьшается при росте доходности финансовых вложений. Если подставить в модель доходность ценных бумаг меньше принятой в расчетах и равную 0,0137 % в день (5 % в год), а постоянные затраты на совершение сделок компанией в размере 1,8 тыс. руб. на операцию и сумму платежей компании – 280 000 тыс. руб. в квартал, то можно сделать следующий вывод:

денежный запас в размере 200 тыс. руб. приведет к полным затратам компании, равным 2 521 тыс. руб., а в размере 12 000 тыс. руб. – к полным затратам 116 тыс. руб.; минимум затрат компании достигается в интервале между 6 000 тыс. руб. и 10 000 тыс. руб. Модель Баумоля на основе приведенных данных позволяет рассчитать денежный запас, минимизирующий полные затраты компании (111 тыс. руб.). Таким образом, оптимальный запас денежных средств равен 9 042 тыс. руб.

Дж. Тобин независимо от У. Баумоля разработал модель спроса на деньги на основе предположения, что компания выбирает между облигациями и наличными деньгами [26]. Бернелл К. Стоун [25], что выдел два совершенно разных подхода к управлению запасами денежных средств: модель в условиях полной определенности, предложенная У. Баумолем, и модель расчета запаса денежных средств в ситуации неопределенности, разработанная американскими экономистами Мертоном Миллером (Merton H. Miller) и Даниелем Орром (Daniel Orr) [20]. Дополнительные доказательства применимости стохастической модели управления запасами денежных средств содержатся в более поздней публикации М. Миллера и Д. Орра [21]. В отличие от модели Баумоля-Тобина стохастическая модель предполагает вероятностный характер поведения денежных потоков компании.

Рис. 2.1. Изменение затрат компании в зависимости от остатка денежных средств по модели Баумоля–Тобина при Е д = 0,022 % в день, тыс. руб.:

– полные затраты компании; – затраты на привлечение денежных средств; – затраты на хранение денежных средств

В модели Миллера-Орра предполагается, что увеличение или снижение запаса денежных средств на определенную величину (m) за небольшой промежуток времени. Если вероятность увеличения запаса денежных средств на величину m рублей равна p, то вероятность снижения запаса на такую же величину m рассчитывается как q = 1– p. Тогда, распределение чистого денежного потока компании (разницы между притоком и оттоком) будет иметь среднее μn и дисперсию , равные:

, .

Управляющие воздействия компании на величину запаса денежных средств для общего случая могут быть сформулированы следующим образом (рис. 2.2):

1) если величина денежного запаса С возрастет до верхнего предела С max, то компании следует инвестировать излишек денежных средств в краткосрочные финансовые вложения в конце периода t 1 в объеме С maxСопт рублей;

2) если величина запаса С снизится до нижнего предела С min, то компании следует пополнить денежный запас, продав ценные бумаги в конце периода t 2 в объеме СоптС min рублей.

 
 


С

Верхний поглощающий экран

Линия возврата

С max

                   
   
   
 
       
 
       
 
 
 


 
Сопт
 
 


С min

Нижний поглощающий экран

0

t 1 t 2 T

Рис. 2.2. Управление запасом денежных средств по модели Миллера-Орра:

1 − реализация краткосрочных финансовых вложений на сумму С maxСопт;
2 − продажа ценных бумаг с целью пополнения запаса наличности
на величину СоптС min

Предположим, что дисперсия планового ежедневного денежного оборота равна 70 тыс. руб., минимальный остаток денежных средств по условиям договора с банком – 200 тыс. руб., а годовая ставка доходности ценных бумаг и постоянные расходы на совершение сделок с ценными бумагами такие же, как в предыдущих примерах. Определим оптимальный остаток денежных средств и верхний предел денежного запаса.

Получаем Сопт =265,9 тыс. руб., а С max=397,7 тыс. руб.:

,

.

Если подставить в рассматриваемую модель меншую величину доходности ценных бумаг – 5 % в год, а постоянные затраты на совершение сделок компанией принять в размере 1,8 тыс. руб. на операцию, дисперсию планового ежедневного денежного оборота равна 8 100 тыс. руб. и минимальный остаток денежных средств по условиям договора с банком – 45 000 тыс. руб., то управляющие воздействия микрологистической системы на величину денежного запаса следует сформулировать так:

1) в случае достижения запаса денежных средств максимальной величины C max 46 292 тыс. руб. компании следует приобрести ценные бумаги на сумму 861 тыс. руб., составляющую разницу между максимальным значением запаса (46 292 тыс. руб.) и точкой возврата величины денежного запаса Сопт (45 431 тыс. руб.), т.е. совершить действие 1 в конце периода t 1;

2) если денежный запас компании достигает минимальной величины C min, равной 45 000 тыс. руб., то компания должна, наоборот, продавать ценные бумаги, стремясь увеличить запас денег с величины (45 000 тыс. руб.) до точки возврата величины денежного запаса на 431 тыс. руб., т.е. совершить действие 2 в конце периода t 2.

Преобразованная модель Миллера-Орра для планирования запаса денежных средств в условиях переходной экономики предложена Е. Ю. Крижевской [4]. В условиях высокой инфляции и отсутствия государственных гарантий на вложения в инвестиционные фонды Е. Ю. Крижевской рекомендуется инвестировать свободные денежные средства на валютный рынок. Альтернативные затраты хранения денежных средств представляют собой потери компании от обесценивания наличности, поэтому в рассматриваемой модели вместо доходности краткосрочных финансовых вложений Е д использован темп инфляции Е и.

В рассматриваемой модели постоянные затраты компании на заключение сделок b заменяются на затраты на конвертацию рублевой наличности в валютные ценности Е кон, выраженные в процентах от суммы сделки:

.

В отличие от модели Миллера-Орра срок хранения денежных средств в финансовых инструментах ограничен 7 рабочими днями, т. е. затраты на конвертацию увеличиваются в 3 раза по сравнению с формулой (3.20) и равны:

.

Тогда, в соответствии с моделью управления денежными средствами в условиях их обесценивания модель Миллера-Орра, рассмотренная ранее, формулируется следующим образом:

,

,

где Е кон – затраты на конвертацию денежных средств в рублях в валютные ценности; σ – среднеквадратическое отклонение денежного потока от среднего значения, рассчитываемое по формуле, откуда следует:

.

Можно сделать вывод, что усовершенствованная модель Миллера-Орра для переходной экономики является частным случаем подхода, сформулированного М. Миллером и Д. Орром, для практического применения в условиях высокой инфляции и при С min = 0.

Применение модели Баумоля-Тобина на практике ограничивается не только ее детерминированным характером, но и предположением об отсутствии возможности отсрочки платежа. Расширение этой модели с учетом возможности перенесения платежа на более поздний срок путем получения отсрочки предложено доцентом Индийского института исследований в Бангалоре (Indian Institute of Science) Рамой Састри [24].

В соответствии с моделью Р. Састри поставщики материальных ресурсов предоставляют компании возможность заплатить позднее срока, установленного договором. Поэтому следует учитывать проценты, начисляемые на сумму отсроченного платежа, который в данном случае рассматривается как полученный компанией кредит. Кроме того, целесообразно в затраты на обслуживание кредиторской задолженности перед поставщиком включать не только процентный платеж, но и расходы, связанные с получением кредита у поставщика (например, затраты на оформление кредита), которые по существу являются постоянной величиной. Модель позволяет определить оптимальный уровень запаса денежных средств с учетом накопленной кредиторской задолженности компании.

Компания имеет возможность по исчерпании запаса денежных средств, т. е. после окончания периода t 1, вместо пополнения запаса денежных средств начинает накапливать кредиторскую задолженность перед контрагентами в период t 2 до окончания промежутка времени t. При этом в течение периода t 2 компания накапливает задолженность перед поставщиками до величины, равной разности между размером пополнения запаса денежных средств и оптимальной величиной запаса МСопт. Следует отметить, что в модели У. Баумоля не допускается появление задолженности, т. е. предполагается, что процент за пользование компанией заемными денежными средствами представляет собой неограниченную величину.

Аналогично условиям модели У. Баумоля компания равномерно расходует в течение периода T денежные средства общим объемом Р. Запас денежных средств снижается в течение периода t 1 до нуля (рис. 2.3).

Исчерпав запас денежных средств в конце периода t 1, компания договаривается об отсрочке платежей и начинает накапливать кредиторскую задолженность перед контрагентами с учетом расходов в размере р, включающих процентные платежи за предоставленный кредит и постоянные затраты на оформление кредита. По окончании периода t компания продает ценные бумаги или снимает деньги со счета в банке и пополняет запас денежных средств на величину М, при этом полностью погашая кредиторскую задолженность.

 
 


С

 
Сопт

               
   
     
     
 
 
 
 


М

t
0

T

 
 


t 1 t 2 t 1 t 2

       
 
 
   
t


Рис. 2.3. Изменение запаса наличности с учетом отсрочки платежа по модели Р. Састри:

1, 3 − равномерное расходование денежных средств на выплаты общим объемом Р;
2, 4 − пополнение запаса наличности за счет средств, получаемых от продажи ценных бумаг

Полные издержки компании равны сумме затрат на хранение, привлечение денежных средств и расходов на обслуживание кредитов от поставщиков.

Полные издержки компании в течение периода T рассчитываются по формуле:

.

На основании соотношений сторон подобных треугольников выразим t 1 и t 2 и, проведя соответствующие подстановки, получаем формулу расчета полных издержек компании на хранение, привлечение денежных средств и обслуживание кредита от поставщика:

.

Приравняв частные производные F по C и M нулю, найдем оптимальные значения запаса денежных средств Сопт и пополнения запаса М по формулам:

, (2.2)

. (2.3)

Допустим, что поставщик начисляет проценты на отложенный платеж компании в размере 0,01 % в день. Издержки на оформление одного кредита от поставщика равны 1,2 тыс. руб. Определим оптимальный остаток денежных средств и размер пополнения денежного запаса с учетом возможности использования средств кредитора-поставщика.

Проведя расчеты по формулам (2.2) – (2.3), получаем Сопт = 1 846,4 тыс. руб., а М = 5 908,4 тыс. руб. (рис. 2.4):

,

.

Рис. 2.4. Изменение затрат компании в зависимости от остатка денежных средств по модели Р. Састри, тыс. руб. (при М 0 = 5 908,4 тыс. руб.):

– полные затраты компании; – затраты на хранение денежных средств; – расходы на обслуживание кредита от поставщиков

Минимальные полные затраты компании составили 36,6 тыс. руб.:

.

Следовательно, минимальные полные затраты компании, расcчитанные по модели накопления задолженности Р. Састри (36,6 тыс. руб.), ниже величины полных затрат, определенных по модели Баумоля-Тобина в примере 3.1 (65,4 тыс. руб.). Применение модели Р. Састри позволяет снизить не только полные затраты компании, но и размер оптимального денежного запаса: Сопт = 1 846,4 тыс. руб., против 3 302,9 тыс. руб. по модели Баумоля-Тобина.

Следует заметить, что минимум полных затрат достигается не в точке равенства альтернативных издержек хранения денежных средств и расходов на обслуживание кредита от поставщиков при постоянных затратах на привлечение средств (М = М 0). При этом точка минимума смещена влево относительно точки пересечения двух кривых, если р < Е д, находится над ней, если р = Е д, и смещена вправо, если р > Е д.

В процессе управления финансами компания может использовать модель кредитной линии, разработанной Уильямом Огденом (William A. Ogden, Jr.) и Сринивасамом Сундарамом (Srinivasan Sundaram) [22]. Процентная ставка по кредиту, как правило, превышает доходность краткосрочных инвестиций. Значит, расходы на обслуживание кредита превосходят альтернативную стоимость денежных средств, получаемых путем продажи ценных бумаг. Однако компания, используя кредитную линию, не несет издержек, связанных с заключением сделок по продаже ценных бумаг. Привлечение заемных средств сокращает количество таких сделок, совершаемых с целью пополнения запаса наличности, тем самым, снижая расходы, связанные продажей ценных бумаг, и альтернативные издержки.

Несмотря на видимое сходство модели кредитной линии и модели накопления задолженности Р. Састри, рассмотренной ранее, существует принципиальное отличие между этими моделями. Модель Р. Састри, представляющая собой расширение модели Баумоля-Тобина и учитывающая расходы на обслуживание кредитов поставщиков, не учитывает сложности оценки расходов, связанных с задержкой платежей поставщикам. Действительно, просроченная задолженность поставщикам может являться своеобразным методом кредитования, но при этом имеет издержки, выражаемые не только в денежной форме.

Примем, что общий расход компании в течение года P равен 360 000 тыс. руб. кредитная организация начисляет проценты на предоставленные компании средства E кp в размере 14 % годовых, а постоянные расходы на оформление одного транша кредитной линии b равны 1,2 тыс. руб. Определим оптимальный остаток денежных средств и размер пополнения денежного запаса. Получаем Сопт = 2 615 тыс. руб., а М = 4 114,7 тыс. руб. (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Изменение затрат компании в зависимости от остатка денежных средств по модели кредитной линии при М 0 = 4 114,7:

– полные затраты компании; – затраты на хранение денежных средств; – расходы на обслуживание кредитной линии

,

.

Минимальные полные затраты компании составили 210 тыс. руб.:

.

Точка минимума функции полных затрат смещена вправо от точки пересечения кривых затрат на хранение денежных средств и расходов на обслуживание кредитной линии, так как годовая доходность ценных бумаг принята в размере 8 % (0,022 % в день), что ниже ставки процентов за кредит – 14 % годовых.

Как было показано ранее, оптимальный размер запаса денежных средств Cопт (руб.) по модели У. Баумоля определяется следующим образом:

,

где Р – суммарный объем совершаемых сделок, руб. за период T; Е д – доходность финансовых вложений в ценные бумаги (%); b – издержки, связанные с совершением сделки по продаже ценных бумаг, руб. за сделку; C – объем денег, привлекаемых равномерно в течение периода T для пополнения запаса наличности, руб.

Предположим, что компания может направить некоторый объем денежных средств Ci (руб.) на реализацию финансовой инвестиции i (рис. 2.6). Обозначим Е д i доходность i –го финансового вложения в день (i = 1, 2, …, N). Рассмотрим изменение запаса денежных средств в период T при пополнении запаса на оптимальную величину Cопт в момент t 1 при полном израсходовании средств к моменту t 2.

Используем допущение модели У. Баумоля, в соответствии с которым остаток денежных средств C, привлекаемых для пополнения запаса наличности, сокращается равномерно до полного исчерпания запаса денег. Следовательно, предполагается равномерное снижение объема денежных средств Ci в интервале t и затем последующее пополнение денежных средств в конце интервала t. Средний запас денежных средств Cсрi, которые не вложены в i –ю финансовую инвестицию, за время T равен:

.

Поэтому альтернативные издержки компании от прекращения i –го финансового вложения за период T равны:

.

 
 


С

Сопт

           
   
   
 
 
 


С

 
По финансо-вой деятельности
i

Cсрi

 
 


0 t 1 t 2 T

Рис. 2.6. Изменение запаса денежных средств:

1, 3 − равномерное расходование денежных средств на выплаты общим объемом Р;
2, − пополнение средст за счет продажи ценных бумаг

Суммарные альтернативные издержки компании от прекращения N финансовых вложений составят:

.

При этом справедливо равенство:

,

так как совокупный запас денежных средств равен сумме всех потенциальных инвестиций (объемом Ci каждая), которые остались нереализованными.

Если распределять C по вложениям в акции, то следует определить доли li (в процентах от C), отражающие объем средств, которые могут быть выделены на конкретное финансовое вложение, т. е. для li (в долях единицы) справедливо равенство:

.

Тогда суммарные альтернативные издержки (аналог затрат на хранение материальных активов) равны:

.

Рассмотрим расходы на привлечение финансовых ресурсов. В модели У. Баумоля допускается, что издержки, связанные с совершением сделки по продаже ценных бумаг составляют b руб. за сделку. Однако финансовых активов может быть несколько, поэтому логично предположить, что постоянные издержки совершения сделок с различными видами активов не равны между собой, и могут быть обозначены bi руб. за сделку. Рассмотрим, случай, когда затраты на совершение сделок содержат постоянную (bfi руб. за сделку) и переменную части (bvi · С руб. за сделку), т. е. затраты на совершение сделок равны:

.

Количество сделок по продаже ценных бумаг вида i равно:

,

где Рi – денежные средства, получаемые компанией за счет продажи ценных бумаг за период T, руб.

Значит, суммарные расходы на привлечение финансовых ресурсов равны:

.

Следовательно, полные издержки F будут равны:

.

Оптимальное значение запаса денежных средств с учетом возможности финансовых инвестиций в различные активы (например, ценные бумаги разной доходности):

. (2.4)

Допустим, что компания имеет возможность приобрести ценные бумаги различной доходности (% в год):

Е д1 = 24 %; Е д2 = 16 %; Е д3 = 10 %.

При подстановке величин доходности в формулу (4.14) значения Е д1, Е д2, Е д3 делятся на 365, чтобы получить соответствующие значения доходности Е д i в день. Доли (в процентах от C), отражающие объем средств, которые могут быть выделены на конкретное финансовое вложение, li (%):

l 1 = 20 %; l 2 = 35 %; l 3 = 45 %.

При этом постоянные затраты на совершение сделок компанией равны соответственно (тыс. руб. на каждую операцию):

bf 1 = 2; bf 2 = 3; bf 3 = 4.

Переменные затраты на совершение сделок (проценты от суммы сделки) составляют:

bv 1 = 0,5 %; bv 2 = 0,6 %; bv 3 = 0,65 %.

Определим оптимальный остаток денежных средств, равномерно расходуемых в течение квартала (Т = 90 дней), учитывая, что общая величина всех платежей компании за квартал равна 245 000 тыс. руб. Проведя расчеты по формуле (2.4), получаем оптимальный денежный запас Сопт, равный 10 955,9 тыс. руб.

Таким образом, модель финансовых инвестиций, в отличие от модели У. Баумоля, позволяет учитывать возможность финансовых инвестиций компании в различные активы (ценные бумаги различной доходности и риска) в процессе планирования запаса денежных средств.

Рассмотрим логистическую модель определения денежного запаса, учитывающую не только различные финансовыех инвестиции, но и привлечение компанией заемных денежных средств. Полные издержки компании F за весь период T:

. (2.5)

Приравняем частные производные F по C и К нулю:

, (2.6)

. (2.7)

Преобразовав выражение (2.6), имеем:

, (2.8)

а, преобразовав, выражение (2.7), получим:

. (2.9)

С помощью подстановки (2.9) в (2.8), выразим К через С:

. (2.10)

Далее, подставив (2.10) в (2.8) и выполнив необходимые преобразования, находим оптимальные значения запаса денежных средств Сопт и кредиторской задолженности К по формулам:

, (2.11)

. (2.12)

Пополнение запаса денежных средств производится на величину, равную:

. (2.13)

Разработанная модель позволяет планировать остаток денежных средств компании, привлекающей кредитные ресурсы, с учетом возможности различных финансовых инвестиций.

Допустим, что кредитная организация начисляет проценты на предоставленные компании заемные средства в размере 14,5 % годовых. Определим оптимальные значения запаса денежных средств и размер кредиторской задолженности с учетом возможности использования различных финансовых инвестиций. При подстановке величин доходности в формулы (2.11) – (2.13) значения Е д1, Е д2, Е д3 делятся на 365, чтобы получить соответствующие значения доходности Е д i в день. Получаем для временного промежутка продолжительностью квартал оптимальный остаток средств на расчетном счете компании Сопт = 7 694,2 тыс. руб., а величина привлекаемых заемных средств К = 7 906,4 тыс. руб. Минимальные полные затраты компании, определенные по (2.13), составили 1 758,8 тыс. руб. за планируемый период. Следовательно, применение модели кредитования и инвестиций позволяет снизить не только полные затраты компании, но и размер оптимального денежного запаса: Сопт = 7 694,2 тыс. руб., против 10 955,9 тыс. руб. по модели инвестиций.

Вопросы для самоконтроля.

11. Какие можно выделить основные этапы формирования теории управления денежным запасом?

12. В чем заключается суть подхода Ф. Харриса к оптимизации размера партии заказа?

13. По какому признаку проведена классификация моделей расчета денежного запаса?

14. В чем заключается сходство целевой функции полных издержек моделей Баумоля и Миллера-Орра?

15. Какую аналогию можно провести между моделями расчета денежного запаса и размера заказа в цепях поставок?


ТЕМА 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕНЕЖНЫХ СРЕДСТВ ПО ОБЪЕКТАМ ФИНАНСИРОВАНИЯ

Под термином «транспортные задачи» понимается широкий круг задач не только транспортного характера. Общим для этого класса задач является распределение находящихся у поставщиков ресурсов по потребителям.

Рассмотрим математическую модель.

Цель задачи состоит в минимизации суммарных затрат на обслуживание кредиторской задолженности перед банками за привлеченные заемные средства. Эта цель может быть достигнута с помощью оптимального планирования долгового финансирования.

Параметры задачи – число кредитных организаций (банков) и наименований материалов, ограничение на предложение и спрос на капитал, ставка процентов на привлеченный капитал.

Ограничения задачи – это ограничения на предложение и спрос на финансовые ресурсы. Предложение заемного капитала не должно превышать объем средств, предоставляемых банком. Спрос на капитал для пополнения каждого наименования материалов, должен быть удовлетворен.

За неизвестные можно принять объем финансовых ресурсов, привлекаемых от каждого банка на приобретение материалов определенного наименования. Пусть xij – объем финансовых ресурсов (млн руб.), предоставленных i -м банком на приобретение материалов j -го наименования.

В общем случае рассматриваемая задача принимает следующий вид:

– имеется m банков и n наименований материалов;

– предложение каждого i -го банка составляет di единиц;

– спрос на приобретение материалов j -го наименования составляет bj единиц;

– ставки процентов годовых за предоставленные финансовые ресурсы задаются в процентном отношении и равны Еij
(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).

Требуется определить оптимальный план финансирования закупок материалов (т. е. объемы финансовых ресурсов, направляемых от каждого банка на приобретение материалов каждого наименования), при котором величина суммарных затрат на обслуживание задолженности (К) перед банками минимальна.

Сумма задолженности перед i -м банком (Кi) за весь период использования заемных средств равна наращенной сумме долга компании этому банку:

, (3.1)

где− множитель наращения долга компании i -му банку.

Общая сумма задолженности компании (К) равняется сумме задолженностей перед этими банками. При этом предполагается общая схема погашения задолженности перед банком, т. е. возврат денежных средств банку вместе с начисленными процентами в конце срока погашения кредита. Следовательно:

(3.2)

Пусть xij – объем финансовых ресурсов, предоставленных i -м банком на приобретение материалов j -го наименования.

Формально задача записывается следующим образом. Целевая функция:

(3.3)

Ограничения:

(3.4)

Естественно, что в реальных задачах суммарное предложение может быть больше или меньше суммарного спроса. В этом случае мы будем говорить, что составлена несбалансированная модель.

Можно использовать транспортную схему для решения рассматриваемой задачи в такой постановке. При этом составляется матрица процентных ставок (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Матрица ставок процентов годовых за финансовые ресурсы, предоставленные i -м банком на приобретение материалов j -го наименования

Банки Ставки процентов (%) за финансовые ресурсы, предоставленные i -м банком на приобретение материалов j -го наименования Предло-жение капитала
    j n
  Е 11 Е 12 Е 1 j Е 1 n d 1
  Е 21 Е 22 Е 2 j Е 2 n d 2
i Еi 1 Еi 2 Еij Еin di
 
m Еm 1 Еm 2 Еmj Еmn dm
Спрос на капитал b 1 b 2 bj bn  

Требуется определить оптимальный объем заемных финансовых ресурсов, предоставленных i -м банком на приобретение материалов j -го наименования, так, чтобы суммарная величина задолженности всем банкам была минимальна при существующих ограничениях на предложение и спрос на капитал.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: