Сглаживание урожайности зерновых культур в хозяйстве методом скользящей средней

Метод простой скользящей средней. Сглаживание ряда динами­ки с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один и уровень вначале и добавляя один следующий. Отсюда название - скользящая средняя.

Каждое звено скользящей средней - это средней уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного пе­риода, если число уровней ряда динамики нечетное.

Нахождение скользящей средней по четному числу членов рядов динамики несколько сложнее, так как средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимися в середине ин­тервала сглаживания. Например, средняя, найденная для четырех чле­нов, относится к середине между вторым и третьим, третьим и четвер­тым уровнями и так далее. Чтобы ликвидировать такой сдвиг, применя­ют так называемый способ центрирования. Центрирование заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. При центрировании необходимо находить скользящие суммы, скользящие средние нецентрированные по этим суммам и средние из двух смежных нецентрированных скользящих средних.

Покажем расчет 5-летней и 4-летней скользящей средней на при­мере данных таблицы 10.6.

Таблица 10.6.

Недостаток метода простой скользящей средней состоит в том, что сглаженный ряд динамики сокращается ввиду невозможности получить сглаженные уровни для начала и конца ряда. Этот недостаток устраняет­ся применением метода аналитического выравнивания для анализа ос­новной тенденции.

Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде функции времени – y = f(t).

Для отображения основной тенденции развития явлений во време­ни применяются различные функции: полиномы степени, экспоненты, логистические кривые и другие виды.

Полиномы имеют следующий вид:

полином первой степени

полином второй степени

полипом третьей степени

полином n-ой степени

Здесь - параметры полиномов, t - условное обозначе­ние времени. В статистической практике параметры полиномов невысо­кой степени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик динамического ряда. Так, параметр трактуется как характеристика средних условий ряда динамики, параметры - как изменения ус­корения.

В статистике выработано правило выбора степени полинома моде­ли развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамических рядов. Согласно этому правилу полином первой степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, у кото­рого первые разности (абсолютные приросты) постоянны, полиномы второй степени - для отражения ряда динамики с постоянными вторыми разностями (ускорениями), полиномы третьей степени - с постоянными третьими разностями и т.д.

После выбора вида уравнения необходимо определить параметры уравнения. Самый распространенный способ определения параметров уравнения - это метод наименьших квадратов.

Суть данного метода изложена в главе 9.

Согласно этому методу, для нахождения параметров полинома р-й степени необходимо решить систему так называемых нормальных урав­нений:

(10.16.)

Система 9.16. состоящая из «р» уравнений, содержит в качестве известных величин ,, то есть суммы наблюдаемых значений уровней динамического ряда, умноженные на показатели времени в степени 0, 1, 2, …, p и неизвестных величин . Решение этой системы относительно и дает искомые значения параметров.

Системы для расчета параметров полиномов невысоких степеней намного проще. Обозначим последовательные параметры полиномов как . Тогда системы нормальных уравнений для оценивания параметров прямой примет вид:

(10.17.)

для параболы второго порядка :

(10.18.)

Решение системы (10.17.) относительно искомых параметров и дает:

В статистической практике применяется упрощенный расчет параметров уравнений, который заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. В этом случае упрощаются сами нормальные уравнения, кроме того, уменьшаются абсолютные значения величин, участвующих в расчете. В самом деле, если до переноса начала координат t было равно 1, 2, 3, …, n, то после переноса t = …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…, если число членов ряда нечетное. Если же число членов ряда четное, то t = …, -5, -3, -1, 1, 3, 5,… Следовательно, и все , у которых «р» - нечетное число, равны 0. Таким образом, вес члены уравнений, содержащие с такими степенями могут быть исключены. Системы нормальных уравнений теперь упрощаются для прямой:

(10.19.)

для параболы второго порядка:

(10.20.)

Решая системы (10.19.), (10.20.) относительно неизвестных параметров, получим величины параметров соответствующих полиномов.

Параметр выражает начальную скорость роста, а коэффициент - постоянную скорость изменения прироста.

При сглаживании ряда динамики по показательной кривой () для определения параметров применяется метод наименьших квадратов к логарифмам исходных данных. Так, для нахождения параметров показательной функции необходимо решить следующую систему уравнений:

(10.21.)

Если , то параметры уравнения и находим по формулам:

; .

Рассмотрим следующий пример. Необходимо определить основ­ную тенденцию ряда динамики урожайности зерновых культур в хозяй­стве за 1981-1995 гг. по следующим данным (см. табл. 10.7).

Начнем определение тенденции с самого простого полинома - уравнение прямой (10.19). Решая систему нормальных уравнений, полу­чим искомые параметры: ; , а само уравнение запишется следующим образом: , что выражает тенденцию динамики урожайности зерновых культур в 1990-2005 гг., т.е. в течение исследуе­мого периода урожайность зерновых культур в хозяйстве увеличивалась в среднем на 0,17 ц. с га в год.

Таблица 10.7.