Одноканальная СМО с отказами

Рассмотрим упорядоченное множество состояний некоторой системы

S: S₀,S₁,S₂,…,S_k ,…; предположим, что все потоки, переводящие систему из состояния в состояние, - простейшие. Пусть для любого состояния S_k переходы возможны только в соседние состояния: либо в S_k-1,либо в S_{k +]}.Граф состояний такой системы изображен на рисунке номер 2:

λ₀₁ λ₁₂ λ₂₃ λ_k-1,k λ_k,k+1 λ_n-1,n

.….. ……

S₀ S₁ S₂ S_k S_n

…… ……

λ₁₀ λ₂₁ λ_-32 λ_k,k-1 λ_k+1,k λ_n,n-1

Рисунок 2: Граф состояний одноканальной СМО с отказами.

Случайные процессы, происходящие в таких системах, имеют специальное название, традиционно происходящее из биологии: схема гибели и размножения (состояние S_k соответствует некоторой популяции численностью k, смена состояния происходит при рождении либо гибели одного члена популяции).

Рассмотрим систему с одним каналом обслуживания, в которую поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Если в момент поступления очередной заявки канал занят, то заявка покидает систему необслуженной. Такие системы называются системами без ожидания, или с отказами в обслуживании.

Пусть поток обслуживаний имеет интенсивность μ. Граф состояний такой системы показан на рисунке номер 3:

λ

S₀ S₁

μ

Рисунок 3: Система без ожидания.

Система имеет два состояния:

S₀ – канал свободен и готов к приему очередной заявки;

S₁ – канал занят.

Эти величины можно интерпретировать как вероятности того, что заявка будет обслужена либо получит отказ:

Относительная пропускная способность системы, то есть доля всех обслуженных заявок из числа всех поступивших в систему, равна вероятности обслуживания:

Абсолютная пропускная способность системы, то есть число обслуженных заявок в единицу времени, - это произведение интенсивности потока заявок на долю всех обслуженных заявок:

Интенсивность μ потока обслуживаний П_0б есть производительность канала. Имеет место равенство

где Т_об - среднее время обслуживания одной заявки, относящееся только к обслуженным заявкам, т.е. математическое ожидание М [Т_0б] случайной величины Т_0б.

Стационарность потока означает, что его вероятностные характеристики не зависят от времени.