Интервалы монотонности функций

Если для всех точек отрезка при выполняется равенство , то функция называется возрастающей на .

При выполнении условий , функция называется убывающей на .

Интервалы, в которых функция только возрастает или только убывает, называются интервалами монотонности функции.

Признак возрастания. Дифференцируемая функция возрастает на отрезке тогда и только тогда, когда её производная .

Признак убывания. Дифференцируемая функция убывает на отрезке тогда и только тогда, когда её производная .

В точках, отделяющих интервалы монотонности функции, производная функции обращается в нуль или не существует. Эти точки называются критическими.

Для нахождения интервалов монотонности функции необходимо найти все её критические точки и установить знак производной в каждом из интервалов, на которые критические точки разбивают область существования функции.

Пример 7.13. Найдите интервалы монотонности функции .

Функция определена на всей числовой оси. Найдём её производную. .

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю.

— критические. Результаты исследования занесём в таблицу:

	+				+

Таким образом, функция возрастает а интервалах и , а убывает на интервале .