2015-01-21
1347
Если для всех точек отрезка 
при 
выполняется равенство 
, то функция 
называется возрастающей на .
При выполнении условий , 
функция называется убывающей на .
Интервалы, в которых функция только возрастает или только убывает, называются интервалами монотонности функции.
Признак возрастания. Дифференцируемая функция возрастает на отрезке тогда и только тогда, когда её производная 
.
|
Признак убывания. Дифференцируемая функция убывает на отрезке тогда и только тогда, когда её производная 
.
В точках, отделяющих интервалы монотонности функции, производная функции обращается в нуль или не существует. Эти точки называются критическими.
Для нахождения интервалов монотонности функции необходимо найти все её критические точки и установить знак производной в каждом из интервалов, на которые критические точки разбивают область существования функции.
Пример 7.13. Найдите интервалы монотонности функции 
.
Функция определена на всей числовой оси. Найдём её производную. 
.
Найдём критические точки, приравняв производную к нулю.
— критические. Результаты исследования занесём в таблицу:
 |  |  |  |  | |
 | + | |  | | + |
 |  |  |  |  |  |
Таким образом, функция возрастает а интервалах и , а убывает на интервале .
