2015-01-22
2005
Инженер должен иметь в своем распоряжении методы измерения надежности, способы ее количественной оценки, позволяющие производить сравнительную количественную оценку, расчеты и испытания на надежность.
Показатели надежности могут определяться математическим выражением, полученным из предварительно составленной математической модели. В этом случае будем пользоваться понятием «математическое определение показателя надежности».
Показатели надежности могут определяться в результате обработки опытных данных. В этом случае будем пользоваться понятием «статистическое определение показателя надежности».
При написании выражений статистические показатели будем отмечать волнистой чертой сверху.
Вероятность безотказной работы объекта Р(t) – это вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникает (наработка – продолжительность или объем работы).
Математическое определение:
P(tз)=P(T>=tз), (1)
где Т – случайное время (наработка) объекта до отказа;
|
|
|
t3 – заданная наработка.
Другими словами, Р(tз) есть вероятность того, что объект проработает безотказно в течение заданного времени tз, начав работать в момент времени t=0.
Статистическое определение:
(2)
где N(0) – достаточно большое число одинаковых работоспособных объектов в момент времени t=0;
N(t3) – число работоспособных объектов к моменту времени t3.
Известно, что при N(0)→∞ статистическая оценка 
(t3) сходится по вероятности к Р(t3).
Вероятность Р(t3) является монотонно убывающей функцией времени (см. рис.), причем Р(0)=1 и Р(t3=∞)=0, так как любой объект, работоспособный в момент включения, со временем откажет.
Вероятность отказа Q(t) – это вероятность того, что наработка объекта до отказа окажется меньше заданной наработки.
Математическое определение:
Q(tз)=P(T ≤ tз)
или
Q(tз)=1-P(tз). (3)
Статистическое определение:
(4)
Очевидно, что
P(tз)+ Q(tз)=1. (5)
Вероятность отказа объекта является функцией распределения наработки до отказа и в ряде случаев обозначается F(t3). Очевидно, что Q(0)=0 и Q(t3→∞)=1 (см. рис.).
Рис. Пояснение статистического определения 
и 
Рис. Зависимости P(t) и Q(t) от времени
Вероятность безотказной работы объекта на промежуточном интервале времени от t1 до t2 можно определить из соотношения
P(t2)= P(t1)· P(t1,t2), (6)
где P(t1) и P(t2) – вероятности безотказной работы объекта соответственно на интервале (0,t1) и (0,t2).
Вероятность безотказной работы объекта на интервале (t1,t2)
P(t1,t2)=P(t2)/P(t1) (7)
представляет собой условную вероятность безотказной работы объекта на интервале (t1,t2) при условии, что к моменту времени t1 он был работоспособен.
|
|
|
Статистическое определение:
(8)
где N(t1) и N(t2) – соответственно число работоспособных объектов к моментам времени t1 и t2.
Плотность вероятности отказа f(t) - производная от вероятности отказа невосстанавливаемого объекта:
(9)
Из соотношения (9) следует, что f(t) характеризует скорость убывания вероятности безотказной работы, т. е. 
- это дифференциальный закон распределения.
Проинтегрировав соотношение (9), получим интегральный закон распределения
(10)
Статистическое определение:
(11)
характеризуется отношением числа отказавших в единицу времени невосстанавливаемых объектов к их первоначальному числу (в момент времени t=0).
|
Рис. К определению 
Так как N(t)=N(0)·P(t) и N(t+∆t)=N(0)·P(t+∆t), то в пределе при
∆t→0 получим
Интенсивность отказов невосстанавливаемого объекта - λ(t) (лямбда от t).
Математическое определение:
λ(t)=f(t)/p(t),
(12)
где f(t) – плотность вероятности отказа в момент времени t.
Ранее было показано:
(13)
Следовательно:
(14)
(15)
Интегрируя левую и правую части (15) получим
(16)
Таким образом, имеем
. (17)
Очевидно, что
(18)
Определим вероятность безотказной работы объекта на интервале (t1,t2)
(19)
(При делении экспонент показатели вычитаются.)
Статистическое определение:
(20)
характеризуется отношением числа отказавших в единицу времени невосстанавливаемых объектов к числу объектов работоспособных в начале интервала ∆t.
Интервал ∆t должен быть достаточно малым, чтобы обеспечить плавный характер кривой λ(t), и в то же время достаточно большим, чтобы на нем могли быть зафиксированы отказы объектов.
Нетрудно заметить, что при ∆t→0
(21)
Типовые зависимости P(t), f(t) и λ(t) для радиоэлектронных элементов показаны на рис.3.
Рис.3. Типовые зависимости показателей надежности от времени.
Участок 0–t1 характеризуется интенсивными отказами, вызываемыми скрытыми дефектами. Этот участок называется участком приработки. Участок при t>t2 также характеризуется более интенсивными отказами. Эти отказы связаны со старением элементов, их механическим и электрическим износом. На участке от t1 до t2 преобладают случайные внезапные отказы; это участок нормальной работы, для которого обычно принимают интенсивность отказов λ(t)= λ=const.
Если λ(t)= λ, то из состояния (17) следует
(22)
(23)
Из соотношения (13) получим
(24)
При допущении постоянства интенсивности отказов говорят, что наработка до отказа распределена по экспоненциальному закону.
В таблице 1 показаны базовые значения интенсивности отказов для некоторых видов радиоэлектронных элементов.
Таблица 1.
| Вид элемента | Интенсивность отказов, Е-6, 1/час |
| Конденсатор КСО | 0,100 |
| Полупроводниковый диод КД908 | 0,070 |
| Дроссель | 0,600 |
| Кинескоп 61ЛК3Ц | 7,300 |
| Штепсельный разъем | 3,000 |
| Интегральная микросхема К155 | 0,160 |
| Резистор СП3-35 | 0,050 |
| Транзистор КТ965А | 0,500 |
| Трансформатор ТАН | 0,200 |
| Печатный проводник | 0,010 |
| Точка пайки | 0,010 |
Средняя наработка до отказа – математическое ожидание наработки объекта до отказа.
(25)
С учетом (9)
из соотношения (25)
используя «интегрирование по частям» получим:
u=t, du=dt;
dp(t)=dv, v=p(t);
(26)
т.е. Тср численно равна площади под кривой Р(t).
С учетом (7) из соотношения (26) получим
(27)
Если λ(х)= λ=const, то средняя наработка до отказа
|
(28)
находим
т.е. при экспоненциальном законе надежности средняя наработка объекта обратно пропорциональна интенсивности отказов, а интенсивность отказов обратно пропорциональна средней наработке.
Принимая во внимание соотношение (28), из формул (22) и (24) получим
и 
(29)
Выясним смысл Тср.
Если
t=Tcp, то P(Tcp) = e-1 ≈ 0.37,
т.е. под средней наработкой до отказа можно понимать такую наработку, по которой из множества одинаковых объектов в среднем должны остаться работоспособными 37%.
|
|
|
Рис. Пояснение физического смысла средней наработки до отказа
Статистическое определение:
(30)
где Тк - наработка до отказа k -го объекта;
- число объектов поставленных на испытание
