2014-10-30
850
Определение. Ненулевой вектор 
линейного пространства V называется собственным вектором линейного преобразования f, если выполняется равенство
, (4.4)
где 
– некоторое число. При этом число называется с обственным значением линейного преобразования f. Говорят также, что есть собственный вектор,принадлежащийсобственному значению .
Пусть А – матрица линейного преобразования f в базисе 
и Х - матрица-столбец из координат вектора , тогда соотношение (5.4) может быть записано в матричной форме
. (4.5)
Принято говорить, что ненулевая матрица-столбец Х является собственным вектором квадратной матрицы А, соответствующим собственному значению 
.
Уравнение (4.5) может быть переписано в виде
Однородная система уравнений тогда и только тогда имеет ненулевое решение, когда её определитель равен нулю, т.е.
(4.6)
Определение. Уравнение (4.6) называется характеристическим уравнением матрицы А.
Таким образом, собственные значения матрицы А являются корнями её характеристического уравнения.
Предложение. Собственные значения матриц А и АТ совпадают.
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
Решение. Запишем характеристическое уравнение
или 
. Следовательно, 
– единственное собственное значение матрицы А. Система уравнений для отыскания собственных векторов сводится к единственному уравнению
,
или 
. Положим 
, то ест собственный вектор 
представляется в виде линейной комбинации
двух линейно независимых векторов 
Замечание. Одному собственному значению может соответствовать несколько линейно независимых собственных векторов.
Пример. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы
Решение. Запишем характеристическое уравнение
или 
откуда 
. Найдём собственные векторы. Подставим 
в систему уравнений
