Собственные значения и собственные векторы линейных операторов

Определение. Ненулевой вектор линейного пространства V называется собственным вектором линейного преобразования f, если выполняется равенство

, (4.4)

где – некоторое число. При этом число называется с обственным значением линейного преобразования f. Говорят также, что есть собственный вектор,принадлежащийсобственному значению .

Пусть А – матрица линейного преобразования f в базисе и Х - матрица-столбец из координат вектора , тогда соотношение (5.4) может быть записано в матричной форме

. (4.5)

Принято говорить, что ненулевая матрица-столбец Х является собственным вектором квадратной матрицы А, соответствующим собственному значению .

Уравнение (4.5) может быть переписано в виде

Однородная система уравнений тогда и только тогда имеет ненулевое решение, когда её определитель равен нулю, т.е.

(4.6)

Определение. Уравнение (4.6) называется характеристическим уравнением матрицы А.

Таким образом, собственные значения матрицы А являются корнями её характеристического уравнения.

Предложение. Собственные значения матриц А и А^Т совпадают.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение. Запишем характеристическое уравнение

или . Следовательно, – единственное собственное значение матрицы А. Система уравнений для отыскания собственных векторов сводится к единственному уравнению