2014-10-30
2648
Определение 17. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Векторы 
п – мерногоевклидова пространства образуют ортогональный базис, если эти векторы попарно ортогональны, т.е. 
при 
, и ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и модуль каждого из них равна единице.
Теорема. Во всяком п – мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Доказательство. В качестве обоснования теоремы представим алгоритм последовательного построения ортонормированного базиса по заданному базису 
, называемый процессом ортогонализации Грама-Шмидта.
Пусть вектор 
Найдём нормированный вектор 
(для которого 
) делением 
на его норму 
, т.е. 
, и получим первый вектор ортонормированного базиса. Построим вектор
,
так, чтобы он был ортогонален вектору 
, т.е. скалярное произведение 
Для нахождения 
умножим скалярно полученное равенство на ; получим, используя свойство скалярного произведения:
Учитывая, что 
, найдём 
. Это означает, что вектор 
будет ортогонален вектору , и вторым вектором ортонормированного базиса станет нормированный вектор 
.
Используя полученные векторы 
и заданный вектор 
, построим вектор
,
ортогональный единичным векторам и 
, для чего умножим скалярно равенство последовательно на и и приравняем его к нулю:
Т.к. скалярные произведения ортонормированных векторов
,
то получим 
и вектор 
.
Нормируя вектор 
, получаем третий вектор ортонормированного базиса 
.
Продолжая процесс ортогонализации, по заданному базису построим ортонормированный 
.
Упражнение. Проверить, что векторы 
образуют ортогональный базис пространства 
. Найти координаты вектора 
в этом базисе.
Определение 18. Направляющие косинусы вектора 
- это косинусы углов между вектором и осями координат. Вычисляют по формулам:
.
Таким образом, направляющие косинусы являются координатами нормированного вектора 
и
Примером базиса в Rп может служить лестничная система векторов
Если вектор 
произвольный вектор из Rп, то очевидное равенство
показывает, что 
есть линейная комбинация векторов .
Индекс инфляции рассчитывается по формуле
