Примеры решения задач. Пример 1. Кинетическая энергия электрона в атоме порядка 10,0 эВ

Пример 1. Кинетическая энергия электрона в атоме порядка 10,0 эВ. Используя соотношения неопределенностей, определить: 1) минимальные линейные размеры атома; 2) естественную ширину Dl спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время t жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 1,00·10^-8с, а длину волны l излучения равной 600 нм.

Решение. 1. Неопределенность координаты и импульса электрона связаны соотношением

, (1)

где - неопределенность координаты электрона; - неопределенность его импульса.

2. Пусть атом имеет линейные размеры , тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью . Соотношение (1) можно записать в этом случае в виде , откуда

. (2)

3. Физически разумная неопределенность импульса не должна превышать значения самого импульса p, т.е.

4. Импульс p связан с кинетической энергией T соотношением . Заменим значением (такая замена не увеличит ). Переходя от неравенства (2) к равенству, получим . Подставив числовые значения, найдем:

м.

5. При переходе атомов из возбужденного состояния в основное существует некоторый разброс (неопределенность) в энергии испускаемых фотонов. Это связано с тем, что энергия возбужденного состояния не является точно определенной, а имеет конечную ширину . Согласно соотношению неопределенностей энергии и времени, ширина энергетического уровня возбужденного состояния связана со средним временем жизни атомов в этом состоянии соотношением:

6. Вследствие конечной ширины уровня энергии возбужденного состояния энергия фотонов, испускаемых атомами, также имеет разброс, равный ширине энергетического уровня. Тогда

. (3)

7. Энергия фотона e связана с длиной волны l соотношением:

. (4)

8. Чтобы найти Dl, продифференцируем соотношение (4) по l и заменим бесконечно малые приращения соответствующих величин на конечные:

, . (5)

В этом выражении конечный интервал длин волн есть естественная ширина спектральной линии.

9. Выразив из формулы (5) и заменив согласно (3), получим

10. Произведем вычисления

м.

Ответ: 1) м;

2) м.

Пример 2. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной . Определить: 1) вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (), будет обнаружен в средней трети ящика; 2) в каких точках интервала () плотность вероятности нахождения частицы максимальна и минимальна?

Решение. 1. Вероятность W обнаружить частицу в интервале определяется интегралом

, (1)

где - нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике, которая имеет вид:

2. Возбужденному состоянию () отвечает собственная волновая функция:

. (2)

3. Подставив в подынтегральное выражение формулы (1) и вынося постоянные величины за знак интеграла, получим:

. (3)

4. Согласно условию задачи и (рис. 65). Подставим эти пределы интегрирования в формулу (3) и произведем замену

Разобьем интеграл на два:

5. Заметив, что , а , получим

6. Плотность вероятности для рассматриваемого случая определяется выражением

7. Для удобства дальнейших преобразований введем обозначение: . Тогда . Проведем исследование этой функции на экстремумы. Возьмем первую производную y по x, приравняем полученное выражение к нулю. Решив полученное уравнение, найдем значения x, отвечающие экстремумам y:

;

; ; , где

8. Координаты экстремумов: ; ; .

9. Максимум или минимум имеет функция при найденных значениях , и , необходимо установить знак второй производной при значениях , и :

· ; .

10. Следовательно, в точках и плотность вероятности будет максимальна, а в точке - минимальна (рис. 65).

Ответ: 1) ;

2) Координаты максимумов:

и .

Координата минимума .

Пример 3. Кусок металла (медь) объема находится при температуре . Определить: 1) максимальную энергию (энергию Ферми), которую могут иметь свободные электроны в металле при , приняв, что на каждый атом меди приходится по одному электрону; 2) долю свободных электронов, энергии которых заключены в интервале от до ; 3) среднюю кинетическую энергию свободных электронов.

Решение. 1. Максимальная кинетическая энергия , которую могут иметь электроны в металле при абсолютном нуле, связана с концентрацией свободных электронов соотношением:

, (1)

где - постоянная Планка, деленная на 2p; m - масса электрона.

2. Концентрация свободных электронов по условию задачи равна концентрации атомов, которая может быть найдена по формуле:

где r - плотность меди; - число Авогадро; A - масса килоатома.

3. Подставляя выражение концентрации в формулу (1), получаем:

4. Подставив числовые значения, произведем вычисления:

Дж = 7,4эВ.

5. Число электронов в единице объема, энергии которых заключены в интервале от до , найдем интегрированием:

6. После подстановки числовых значений получим:

эл/м³.

7. Для определения средней кинетической энергии свободных электронов воспользуемся известным соотношением

8. Подставив функциональную зависимость и выполнив преобразования, получим:

(2)

9. Учитывая, что , запишем

10. Объединив с выражением (2), получим:

11. Подставляя в последнюю формулу численное значение, найдем среднюю энергию

эВ.

Ответ: 1) 1,18·10^-18 Дж = 7,4 эВ;

2) 4,4 эВ.

Пример 4. Рассчитать ширину запрещенной зоны носителей тока в теллуре, если при нагревании от К до К его проводимость возрастает в 5,00 раз.

Решение. 1.Теллур является полупроводником, его собственная проводимость s зависит от температуры T по закону

, (1)

где - величина, слабо меняющаяся с температурой; - ширина запрещенной зоны; k - постоянная Больцмана.

2. Используя соотношение (1), запишем проводимость теллура при температурах и :

; (2)

; (3)

3. Разделив выражение (3) на (2), имеем:

4. После логарифмирования , выразим ширину запрещенной зоны

5. Подставим числовые значения:

Дж = 0,333эВ.

Ответ: Дж = 0,333эВ.

Пример 5. Определить начальную активность радиоактивного магния массой , а также активность A по истечении времени ч. Предполагается, что все атомы изотопа радиоактивны.

Решение. 1. Начальная активность изотопа:

, (1)

где l - постоянная радиоактивного распада; - количество атомов изотопа в начальный момент ().

2. Учтем, что , , тогда формула (1) примет вид

. (2)

3. Выразим входящие в эту формулу величины в СИ и произведем вычисления:

мг = 0,2·10^-9кг; моль^-1;

кг/моль; мин = 600с.

4. Активность изотопа уменьшается со временем по закону:

. (3)

5. Заменив в формуле (3) постоянную распада l ее выражением, получим:

6. Так как , то окончательно будем иметь:

7. Сделав подстановку числовых значений, получим:

Бк.

Ответ: Бк.

Пример 6. Найти энергию реакции .

Решение. 1. Определим энергию реакции:

МэВ.

2. При числовом подсчете массы ядер заменим массами нейтральных атомов:

а.е.м.;

а.е.м.

3. Подставим значения масс в формулу и получим Q:

МэВ.

Ответ: МэВ.

Пример 7. Вычислить толщину слоя половинного ослабления параллельного пучка -излучения для воды, если линейный коэффициент ослабления = 0,047 см^-¹.

Решение. 1. При прохождении g-излучений через слой вещества происходит их поглощение за счет трех факторов: фотоэффекта, эффекта Комптона и образования пар (электрон-позитрон). В результате действия этих трех факторов интенсивность g-излучения экспоненциально убывает в зависимости от толщины слоя:

. (1)

2. Пройдя поглощающий слой толщиной, равной толщине слоя половинного ослабления , пучок g-излучения будет иметь интенсивность . Подставив значения и х в формулу (1), получим

. (2)

После сокращения на уравнение (2) примет вид

. (3)

3. Прологарифмируем выражение (3)

. (4)

4. Найдем искомое значение толщины слоя половинного ослабления

. (5)

5. Подставим в формулу (5) значения и , найдем величину :

см.

Вывод - слой воды толщиной в 15 см снижает интенсивность g-излучения в два раза.

Ответ: см.

Пример 8. Радиоактивный точечный источник находится в центре свинцового сферического контейнера с внешним радиусом R = 20,0см и с толщиной стенок х = 1,00см. Определить максимальную активность источника, который можно хранить в контейнере, при допустимой плотности потока, g-фотонов с внешней стороны контейнера равной 8,00·10⁶ (с^-1·м^-2). Принять, что при каждом акте распада ядра испускается п = 2 g-фотона, средняя энергия которых = 1,25 МэВ.

Р е ш е н и е. 1. Активность радиоактивного источника пропорциональна потоку излучения g-фотонов

, (1)

где п - число g-фотонов, испускаемых при одном акте распада.

2. Найдем из уравнения (1) активность

. (2)

3. Выразим поток Ф, входящий в формулу (2), через плотность потока , который на расстоянии R от точечного источника излучений равен

. (3)

4. После прохождения излучения через свинцовую стенку контейнера плотность потока уменьшится и будет равна

. (4)

5. Найдем из (4) плотность потока и подставим в формулу (3), в результате получим равенство

, (5)

откуда получим выражение для потока

. (6)

6. Подставим выражение (6) для потока Ф в (2) и определим активность А препарата

. (7)

7. Если заменить в полученной формуле на , то формула (7) будет выражать искомую максимальную активность источника, который можно хранить в контейнере:

. (8)

8. По графику (см. приложение табл. 9) найдём линейный коэффициент ослабления для -фотонов с энергией = 1,25 МэВ, который равен 0,64 см^-¹.

9. Выразим величины, входящие в формулу (8), в единицах СИ, выполним вычисления и получим искомую активность

МБк.

Вывод: Данный контейнер предназначен для хранения g-радиоактивных источников с активностью не превышающей 3,81 МБк.

Ответ: МБк.

Пример 9. Космическое излучение на уровне моря на экваторе образует в воздухе объемом V = 1,0 см³ в среднем N = 24 пары ионов за время = 10 с. Определить экспозиционную дозу X, получаемую человеком за время = 1,0 год.