Задача 2. Образец кремния n-типа, находящийся в состоянии термодинамического равновесия при температуре 300 К

Образец кремния n -типа, находящийся в состоянии термодинамического равновесия при температуре 300 К, характеризуется следующими параметрами: удельное сопротивление 5 Ом·см: подвижность электронов 1600 см²·В^–1·с^–1; подвижность дырок 600 см²·В^–1·с^–1; собственная концентрация носителей 1,4·10¹⁰ см^–3 и эффективная плотность уровней в зоне проводимости 10¹⁹ см^–3. Определите: а) концентрацию электронов и дырок; б) положение уровня Ферми; в) вероятность событий, состоящих в том, что донорный уровень занят и свободен. Известно, что Е_с – Е_d = 50 мэВ.

Решение:

а) Запишем уравнения, определяющие удельную объемную проводимость, а также уравнение полупроводника (закон действующих масс):

σ = q (μ _n n+ μ _pp); np = .

Объединяя эти две формулы, получаем

, т.е.

,

откуда n = 0,8·10¹⁵ см^–3.

Воспользовавшись уравнением полупроводника, получаем

p = 2,45·10⁵ см^–3.

б) Известно, что

.

Подставляя соответствующие значения, находим

,

Откуда E_c – E _F = 0,244 эВ.

в) Вероятность того, что донорный уровень заполнен,

.

Так как E_c – E _F = 0,244 эВ, E_c – E_d = 0,05 эВ, то E_d – E _F = 0,194 эВ, откуда

Итак, вероятность того, что донорный уровень занят, т.е. относительная доля ионизированных атомов с занятым донорным уровнем, составляет 0,057 %. В то же время относительная доля ионизированных атомов с незанятым донорным уровнем равна 99,943 %.

Интересно отметить, что с ростом концентрации донорных атомов N_d уровень Ферми приближается к границе зоны проводимости. При этом возрастает вероятность того, что он будет занят, и уменьшается относительная доля ионизированных донорных атомов. Аналогичные рассуждения применимы и в случае акцепторной примеси. Если уровень E_F приближается к границе валентной зоны, то число дырок возрастает, а концентрация электронов уменьшается.