Ризик та нерівність Чебишева

Повертаючись до варіації (дисперсії) як міри ризику, треба зазначити, що дисперсія, звичайно, не повністю характеризуя ступінь ризику, але дозволяє у деяких випадках чітко виявить граничні шанси менеджера (інвестора, підприємця).

Теоретична база цього закладена у відомій нерівності Чебишева: ймовірність того, що випадкові величина відхиляється за модулем від свого математичного сподівання більше, ніж на заданий допуск "б", не перевищує її дисперсії (варіації), розділеноi на "δ² ".

Тут сразу нужно обозначить, что вариация V некоторой случайной величины R должна быть меньше, чем δ², поскольку имоверность:

р ≤ 1 (р =V / δ² ≤ 1).

Соответственно случайной величине R (эффективность, прибыльность) можно записать:

(2.19)

где m – математическое ожидание случайной величины R.

1. Припустимо, що інвестиції здійснюються за рахунок кpедиту, взятого піл відсоток "r_s " під заставу нерухомості [38]. Яка ймовірність того, що інвестор не зможе повернути свій борг та позбудеться своєї нерухомості?

R < r_s (2.20)

Или - (R – m) > m – r_s. (2.21)

Следовательно получим

(2.22)

Отсюда имеем, что шанс обанкротится не превышает величины:

V/(m – r_s)².

Звичайно при цьому мають на увазі, що обов'язково виконується умова раціональності такого вкладу «під кредит», тобто, це ймовірність того, що випадкова величина R прийме свое значення, яке відповідає умові що т > r_s, а оцінка (2.22) має сенс лише тоді, коли варіація (дисперсія) не надто велика, тобто, коли виконується умова

V ≤ (m – r_s)². (2.23)

Коли задані умови (гіпотези) виконуються, то для того, щоб шанс збанкрутувати був не більшим ніж 1/9, достатньо виконати умову (правило «3-х сігм»)

V ≤ 1/9 (m – r_s)² или m ≥ r_s + 3σ. (2.24)

Зазначимо, що тут, як один з параметрів ризику у системі кількісних оцінок ризику, виступає ймовірність несприятливої події

р_н = σ² / δ²

поряд з таким параметром ризику як дисперсія (варіація). У даному випадку р_н ≤ 1/9. Звичайно, можна сперечатися, чи задовольняє ця величина менеджера (суб'єкт прийняття рішення), чи ні. У ряді випадків величину р_н необхідно брати досить малою, інколи навіть, у випадку забезпечення «допустимого» ризику р_н=0,001.

Приклад. Підприємство бере кредит під 10% річних для впровадження нових технологій. При цьому експерти оцінюють, що ризик, пов'язаний з коливанням сподіваних прибутків, ста­новить 5%.Необхідно з імовірністю 1/9 оцінити рівень споді­ваних прибутків, щоб уникнути банкрутства.

Розв'язання. Маємо, що r_s= 10%, σ = 5%. Скориставшись правилом «3-х сігм» (формула 2.24) одержимо

т ≥ 10% + 3×5% = 25%,

тобто рівень (норма) сподіваних прибутків повинен бути не меншим ніж 25 %.

2. Розглянемо ще одну ситуацію, коли інвестор вкладає в звичайні акції лише частину власного капіталу, залишаючи пев­ну частку на збереження під майже безризиковий відсоток r₀ (державні короткотермінові цінні папери). Яка буде при цьому величина ймовірності банкрутства?

Якщо А — обсяг наявного капіталу, а х₀ А — частка, що зали­шається на збереження (вкладається в безризикові цінні папери), то банкрутство стає можливим лише тоді, коли

Х₀А (1 + r₀) + (1 – х₀) А (1 – R) < 0

Или R < - (1 + x₀r₀) /(1 – x₀). (2.25)

Тобто, в цьому випадку замість величнини r_s,яка фігурувала в попередньому випадку, маємо величину - (1 + x₀r₀)/(1 -х₀).

Оцінка за Чебишевим дає ризик банкрутства, що буде меншим ніж 1/9 тоді, коли

(2.26)

или

(2.27)

Бачимо, що гра на біржі на власний капітал значне без­печніша. Навіть якщо вкласти його лише у ризиковані цінні папери, тобто, коли х₀=0, то достатнім є виконати умову

m > -1 + 3σ, (2.28)

звичайно, якщо інвестора задовольняє рівень надійності (ризик банкрутства р_н< 1/9).

Приклад. Капітал інвестора складає 100 мли крб., 25 млн. крб. він вкладає в безркзикові цінні папери, річна норма прибутку від яких с становить 30%. Решту грошей, тобто 75 млн. крб., він збирається вкласти у папери, обтяжені ризиком. Середньоквадратичне відхилення (ризик) цих цінних паперів дорівнює 10%. Інвестор прагне, щоб шанс банкрутства був би для нього не більшим ніж 1/9.

Яка повинна бути сподівана норма прибутку, обтяженого ризиком цінних паперів?

Розв'язання. Маемо, що r₀ = 30%, х₀= 25/100 = 0,25, "σ" = 10%.

Використавши формулу (2.27) одержимо

m > - ((1+0,25×0,3)/(1 - 0,25)) +3 × 0,1 = -1,133 (-113,3 %).

Тобто, сподівана норма доходу цінних паперів, що обтяжені ризиком, повинна бути не меншою ніж 113,3 %.

Приклад. При, виготовленні на експорт набору певних то­варів прагнуть, щоб ризик банкрутства був не більшим нiж 1/9. У справу вкладають власний капітал обсягом 2 млрд. крб. Сподівання (середній) рівень рентабельності дорівнює 10%.

Обчислити, якимповинно бути значення середньоквадратичного видхилення рівня рентабельності від сподіваної величини.

Розв'язання. Маемо, що х₀=0, т= 10 %.

З формули (2.28) одержимо, що

"б" ≤ (m+1)/3, тобто "б" ≤ (0,1 + 1)/3 = 0,367 або 36,7 %.

Отже, ризик (середньоквадратичне відхилення) повинен бути не вищим нiж 36,7%.