Формула парабол

Докажем предварительно две леммы.

Лемма 1.1. Через любые три точки М₁ (х₁; у₁), М₂ (х₂; у₂), М₃ (х₃; у₃) с различными абсциссами можно провести единственную кривую вида

у=Ах²+Вх+С (1)

Доказательство. Подставляя в уравнение параболы (1) координаты точек М₁, М₂ , М₃ , получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными А, В, С:

Так как числа х₁, х₂, х₃ различны, то определитель этой системы отличен от нуля:

Следовательно, данная система имеет единственное решение, т.е. коэффициенты А, В, С определяются однозначно. g

Отметим, что если А¹0, то кривая (1) является параболой, если А=0, то прямой.

Лемма 1.2. Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=Ах²+Вх+С, проходящей через точки М₁ (-h; y₁), M₂ (0, y₂), M₃ (h, y₃) (рис. 2) выражается формулой

(2)

Доказательство. Подставляя в уравнение у=Ах²+Вх+С координаты точек М₁, М₂, М₃, получаем у₁=Аh²-Вh+С; у₂=С; у₃=Аh²+Вh+С, откуда следует, что

2Аh²+2С=у₁+у₃; С=у₂ (3)

Учитывая соотношение (3), имеем

Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок [a, b] на 2p равных отрезков точками a=x₀<x₁<x₂<...<x_2k<x_2k+1<x_2k+2<...<x_2n-1<x_2n=b, а кривую y=f(x) с помощью прямых x=x_k на 2n соответствующих частей точками М₀, М₁ , М₂ ,..., М_2k, М_2k+1, М_2k+2,..., М_2n-2, М_2n-1, М_2n (рис. 3).

Через каждую тройку точек

М₀ М₁ М₂ ,..., М_2k М_2k+1 М_2k+2,..., М_2n-2 М_2n-1 М_2n

проведем кривую вида у=Ах²+Вх+С (см. лемму 1.1). В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 3). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку [x_2k, x_2k+2], приближенно равна площади соответствующей “параболической” трапеции, то по формуле (2) имеем [в данном случае h=(b-a)/(2n)]

где y_k=f(x_k), k=0, 1, 2,...,2n. Складывая почленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулу

или в развернутом виде

Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.

В формуле параболы значение функции f(x) в нечетных точках разбиения х₁, х₃,..., х_2n-1 имеет коэффициент 4, в четных точках х₂, х₄,..., х_2n-2 - коэффициент 2 и в двух граничных точках х₀=а, х₁, х_2n =b - коэффициент 1.

Геометрический смысл формулы Симпсона очевиден: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) на отрезке [a, b] приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами (прямыми).

В полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем

где М - наибольшее значение на отрезке [a, b]. Выше отмечалось, что погрешность формулы трапеций оценивается числом

Так как n⁴ растет быстрее, чем n², то погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций. Этим и объясняется, что формула Симпсона позволяет получить большую точность, чем формула трапеций.

Для сравнения точности приближенных формул вычислим еще раз интеграл

, но теперь по формуле Симпсона при n=4. Разобьем отрезок [0, 1] на четыре равные части точками х₀=0, х₁=1/4, х₂=1/2, х₃=3/4, х₄=1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=1/(1+x) в этих точках у₀=1,0000, у₁=0,8000, у₂=0,6667, у₃=0,5714, у₄=0,5000.

По формуле Симпсона получаем

Оценим погрешность полученного результата. Для подынтегральной функции f(x)=1/(1+x) имеем: f⁽⁴⁾(x)=24/(1+x)⁵, откуда следует, что на отрезке [0, 1] . Следовательно, можно взять М=24, и погрешность результата не превосходит величины 24/(2880× 4⁴),0б0004. Сравнивая приближенное значение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций.

Как отмечалось выше, приближенные формулы для вычисления определенного интеграла применяют в тех случаях, когда первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции.

Вычислим, например, интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001.

Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности число 2n, найдем f⁽⁴⁾(x). Последовательно дифференцируя функцию f(x)= , получаем

f⁽⁴⁾(x)=4 (4х⁴-12х²+3)

Так как на отрезке [0, 1] £1, ½4х⁴-12х²+3½£5, то . Следовательно, можно взять М=20. Используя формулу оценки погрешности, имеем 20/2880n⁴<1/1000, откуда n⁴ >1000/144. Для того чтобы выполнялось это неравенство, достаточно взять n=2, т.е. 2n=4.

Разобьем теперь отрезок [0, 1] на четыре равные части точками х₀=0, х₁=1/4, х₂=1/2, х₃=3/4, х₄=1 и вычислим приближенно значения функции f(x)= в этих точках у₀=1,0000, у₁=0,9394, у₂=0,7788, у₃=0,5698, у₄=0,3679. Применяя формулу Симпсона, получаем

Таким образом, с точностью до 0,001. Итак, разбив отрезок [0, 1] всего на четыре равные части и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симпсона, мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью.

В заключении отметим, что каждый из изложенных методов приближенного вычисления интегралов содержит четкий алгоритм их нахождения, что позволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные методы - эффективное средство вычисления интегралов. Для интегралов, которые нельзя выразить через элементарные функции, с помощью ЭВМ и простейших приближенных методов можно составить таблицы их значений.

Основные понятия о дифференциальных уравнениях. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальным уравнением называется уравнение вида , где - функция, определенная в некоторой области пространства , - независимая переменная, - функция от , - ее производные.

Порядком уравнения называется наивысший из порядков производных , входящих в уравнение.

Функция называется Решением уравнения на промежутке , если для всех из выполняется равенство: .

Интегральная кривая – это график решения.

Пример 1. Решить уравнение . Его решение: определено на . Отметим, что эта постоянная – произвольная и решение – не единственное, а имеется бесконечное множество решений.

Пример 2. Решить уравнение , где - непрерывная на функция. Пусть - первообразная для . Тогда уравнение имеет бесконечное множество решений на и все они имеют вид , где - произвольная постоянная.

Есть прямой способ выбрать какое-то одно из этих решений, потребовав, например, чтобы для некоторой точки выполнялось условие . Тогда, подставив в решение, получаем условие , определяющее и, тем самым, единственное решение с указанным условием.

Рассмотрим значительно более общую ситуацию, чем была в примерах. Пусть исследуемое уравнение имеет вид: . Это – уравнение первого порядка, Разрешенное Относительно . (Термин «разрешенное» означает, что выражается через остальные величины, в отличие от уравнения общего вида , из которого выразить может быть и не удастся).

Сформулируем важнейшую теорему.

Теорема. (О существовании и единственности решения задачи Коши). Пусть - непрерывная функция в области , причем - также непрерывен в . Тогда для любой точки Задача Коши: имеет решение, причем единственное в том смысле, что если есть 2 ее решения и , определенные на интервалах и , содержащих точку , то они совпадают на пересечении этих интервалов.

Теорему оставим Без доказательства.

Замечание. Говорят, что решение дифференциального уравнения на интервале есть Продолжение решения на , если и на . Также говорят, что решение - Максимальное или Непродолжаемое относительно , если не обладает продолжениями, целиком лежащими в .

На основании этого замечания можно сказать, что при условиях теоремы существует единственное максимальное (непродолжаемое) решение задачи Коши.

Геометрический смысл сформулированной теоремы состоит в следующем. Левая часть уравнения представляет собой - тангенс угла наклона касательной к графику искомой функции в точке , а правая часть задает его численное значение в этой точке. Поэтому можно считать, что уравнение задает Поле направлений на области , т. е. к каждой точке прикреплен вектор, указывающий направление касательной к искомой интергальной кривой.

Поэтому сформулированная выше теорема означает, что при выполнении ее условий через каждую точку проходит единственная непродолжаемая интегральная кривая.

Перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений, для которых можно в явном виде получить их решения.

Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения вида , где - непрерывна на некотором , а непрерывна на , причем на . . Интегрируя обе части, получаем . Обозначая любую первообразную для , а - любую первообразную для , перепишем это уравнение в виде . Это – искомая интегральная кривая.

Рассмотрим некоторые примеры таких уравнений.

Пример 1. . Очевидно решение . Если же , то уравнение можно заменить таким: , откуда . Если считать, что , то , откуда или . Аналогично, при получаем .

Пример 2. . - решение уравнения. При имеем: , и . Аналогично, при .

В точках единственность решения нарушается. Отметим, что это не противоречит теореме единственности: - не непрерывен в 0.

Однородные уравнения. Под Однородными уравнениями понимаются уравнения вида . Для их решения требуется сделать замену , после чего получится уравнение с разделяющимися переменными.

Пример. . Оно имеет решение . Пусть теперь . Преобразуем уравнение так: (правая часть имеет вид - это однородное уравнение). Полагаем . При этом и получаем уравнение . Значит, .

Уравнения вида . Такие уравнения сводятся к однородным заменой переменных. В случае, если прямые и пересекаются в точке , то замена приведет уравнение к однородному. Если же эти прямые не пересекаются, то и замена приведет к уравнению с разделяющимися переменными.