Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде

где F − заданная функция указанных аргументов. Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y'', то его можно представить в следующем явном виде:

В частных случаях функция f в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такие неполные уравнения включают в себя 5 различных типов:

С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка. В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией. Ниже мы обсудим 2 типа таких уравнений (случаи 6 и 7):

Функция F (x, y, y', y'') является однородной функцией аргументов y, y', y'';

Функция F (x, y, y', y'') является точной производной функции первого порядка Ф (x, y, y').

Итак, рассмотрим указанные случаи понижения порядка более подробно. Случай 1. Уравнение вида y''= f (x) Если дано уравнение y'' = f (x), то его порядок можно понизить введением новой функции p (x), такой, что y' = p (x). В результате мы получим дифференциальное уравнение первого порядка

Решая его, находим функцию p (x). Затем решаем второе уравнение

и получаем общее решение исходного уравнения. Случай 2. Уравнение вида y''= f (y) Здесь правая часть уравнения зависит только от переменной y. Вводим новую функцию p (y), полагая y' = p (y). Тогда можно записать:

и уравнение принимает вид:

Решая его, находим функцию p (y). Затем находим решение уравнения y' = p (y), то есть функцию y (x). Случай 3. Уравнение вида y''= f (y') В данном случае для понижения порядка вводим функцию y' = p (x) и получаем уравнение

которое является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными p и x. Интегрируя, находим функцию p (x) и затем функцию y (x). Случай 4. Уравнение вида y''= f (x,y') Используем подстановку y' = p (x), где p (x) − новая неизвестная функция, и получаем уравнение первого порядка

Интегрируя, определяем функцию p (x). Далее решаем еще одно уравнение 1-го порядка

и находим общее решение y (x). Случай 5. Уравнение вида y''= f (y,y') Для решения такого уравнения, также как и в случае 2, вводим новую функцию p (y), полагая y' = p (y). Дифференцирование этого равенства по x приводит к уравнению

В результате наше исходное уравнение записывается в виде уравнения 1-го порядка

Решая его, находим функцию p (y). Затем решаем еще одно уравнение первого порядка

и определяем общее решение y (x). Рассмотренные 5 случаев понижения порядка не являются независимыми. Исходя из структуры уравнений, ясно, что случай 2 следует из случая 5, а случай 3 вытекает из более общего случая 4. Случай 6. Функция F(x, y, y', y'') является однородной функцией аргументов y, y', y'' Если левая часть дифференциального уравнения

удовлетворяет условию однородности, т.е. для любого k справедливо соотношение

то порядок уравнения можно понизить с помощью подстановки

После нахождения функции z (x) исходная функция y (x) находится интегрированием по формуле

где C ₂ − постоянная интегрирования. Случай 7. Функция F(x, y, y', y'') является точной производной Если удается найти такую функцию Ф (x, y, y'), не содержащую второй производной y'' и удовлетворяющую равенству

то решение исходного уравнения представляется интегралом

Таким образом уравнение второго порядка можно привести к уравнению первого порядка. В некоторых случаях левую часть исходного уравнения можно преобразовать в точную производную, используя интегрирующий множитель.

Пример 1

Решить уравнение y'' = sin x + cos x. Решение. Данный пример относится к случаю 1. Введем функцию y' = p (x). Тогда y'' = p'. Следовательно,

Интегрируя, находим функцию p (x):

Учитывая, что y' = p (x), проинтегрируем еще одно уравнение 1-го порядка:

Последняя формула представлят собой общее решение исходного дифференциального уравнения.

Пример 2

Решить уравнение

. Решение. Это уравнение относится к типу 2, где правая часть зависит лишь от переменной y. Введем параметр p = y'. Тогда уравнение можно записать в виде

Мы получили уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными для функции p (y). Интегрируем его:

где C ₁ − постоянная интегрирования. Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим функцию p (y):

Теперь вспомним, что y' = p и решим еще одно уравнение 1-го порядка:

Разделим переменные и проинтегрируем:

Чтобы вычислить левый интеграл, сделаем замену:

Тогда левый интеграл будет равен

В результате мы получаем следующее алгебраическое уравнение:

в котором C ₁, C ₂ являются постоянными интегрирования. Последнее выражение представляет собой общее решение дифференциального уравнения в неявном виде.

Пример 3

Решить уравнение

. Решение. Данное уравнение не содержит функции y и независимой переменной x (случай 3). Поэтому полагаем y' = p (x). После этого уравнение принимает вид

Полученное уравнение первого порядка для функции p (x) является уравнением с разделяющимися переменными и легко интегрируется:

Заменяя p на y', получаем

Интегрируя еще раз, находим общее решение исходного дифференциального уравнения:

Пример 4

Решить уравнение

. Решение. В это уравнение не входит явно переменная y, т. е. уравнение относится к типу 4 в нашей классификации. Введем новую переменную y' = p (x). Исходное уравнение преобразуется в уравнение первого порядка:

которое решается разделением переменных:

Интегрируя полученное уравнение еще раз, находим функцию y (x):

Для вычисления последнего интеграла сделаем замену: x = t ², dx = 2 tdt. В результате имеем

Возвращаясь обратно к переменной x, окончательно получаем

Пример 5

Решить уравнение y'' = (2 y + 3)(y')². Решение. Данное уравнение не содержит явно независимой переменной x, т.е. относится к случаю 5. Пусть y' = p (y). Тогда уравнение запишется в виде

Разделяем переменные и интегрируем:

Интегрируя еще раз, получаем окончательное решение в неявном виде:

где C ₁, C ₂ − постоянные интегрирования.

Пример 6

Решить уравнение

. Решение. Уравнение удовлетворяет условию однородности. Поэтому сделаем следующую замену переменной:

. Производные будут равны

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид:

Функция z (x) легко находится:

Исходную функцию y (x) определим по формуле

Вычисления приводят к следующему ответу:

Заметим, что кроме полученного общего решения, дифференциальное уравнение содержит также особое решение y = 0.

Пример 7

Решить уравнение yy'' + (y')² = 2 x + 1. Решение. Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой производную от yy'. Поэтому, обозначая z = yy', получаем следующее дифференциальное уравнение:

Последнее уравнение легко решается разделением переменных:

Теперь проинтегрируем еще одно уравнение для y (x):

где C ₁, C ₂ − произвольные постоянные.

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод характеристических корней решения линейного однородного уравнения. Нахождение частного решения линейного неоднородного уравнения по виду правой части.

Дифференциальное уравнение вида

(1)

где , f - известная функция, называется линейным дифференциальным уравнением n - го порядка с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение (1) называется однородным, в противном случае - неоднородным. К однородному уравнению, очевидно, применима теорема существования и единственности, причем интервалом определения решений этого уравнения будет вся действительная ось.

Если f - непрерывная функция, то общее решение уравнения (1) состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (1).

Чтобы решить однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами (1) надо составить характеристическое уравнение

(2)

и найти его корни . Каждому простому корню соответствует частое решение однородного уравнения (1), имеющее вид , а каждому корню кратности k - решения . Произвольная линейная комбинация всех частных решений является общим решением однородного уравнения (1), т.е.

где произвольные постоянные.

Если все коэффициенты однородного уравнения (1) вещественные, то решение можно написать в вещественной форме и в случае комплексных корней . Для каждой пары комплексно сопряженных корней в формулу общего решения включаются слагаемые

если эти корни простые, и слагаемые

если каждый из корней имеет кратность k. Здесь - многочлены степени k-1.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Выпишем характеристическое уравнение, соответствующее данному однородному уравнению

Разлагая левую часть уравнения на множители, находим корни:

Следуя выше изложенной теории, выпишем общее решение данного уравнения

Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида, а именно состоящей из сумм и произведений функций , частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов. Вид частного решения зависит от корней характеристического уравнения. Ниже представлена таблица видов частных решений линейного неоднородного уравнения с правой частью специального вида.

Правая часть	Число, сравниваемое с корнем характеристического уравнения	Вид частного решения
	0 - не корень
0 - корень кратности k
	- не корень
- корень кратности k
	- не корень
- корень кратности k
	- не корень
- корень кратности k

Здесь -многочлены степени s, а - многочлены степени s, коэффициенты которых нужно найти методом неопределенных коэффициентов. Для того чтобы их найти, нужно функцию, задающую вид частного решения, подставить в исходное дифференциальное уравнение и после приведения подобных слагаемых приравнять соответствующие коэффициенты в правой и левой частях уравнения. В случае, когда для определения вида частного решения нельзя воспользоваться только одной строкой таблицы, применяют принцип суперпозиции.

Теорема (принцип суперпозиции). Пусть - решения уравнений

соответственно. Тогда

есть решение уравнения

Пример 2. Решить уравнение , удовлетворяющее условиям .

Решение.

Сначала найдем общее решение данного неоднородного уравнения второго порядка, а затем среди всех решений выберем то, которое удовлетворяет заданным условиям. Так как характеристическое уравнение имеет корни , то общим решением соответствующего однородного уравнения является функция:

Правая часть исходного неоднородного уравнения представляет собой сумму двух функций специального вида . Найдем методом неопределенных коэффициентов частные решения уравнений

(*)

(**)

соответственно.

Определим частное решение уравнения (*). Правая часть представляет собой произведение многочлена первой степени и . Число, которое нужно сравнивать с корнем характеристического уравнения - это 1. Оно является простым корнем характеристического уравнения кратности 1. Согласуя с параметрами таблицы, имеем , следовательно, частное решение будем искать в виде:

где коэффициенты a и b подлежат определению. Подставляя последнее выражение в (*), и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях, получим следующую систему:

откуда , а значит

Правая часть уравнения (**) представляет собой произведение многочлена нулевой степени и тригонометрической функции. Число 2i не является корнем характеристического уравнения. Частное решение уравнения (**) ищем в виде ():

Подставляя в (**), и приравнивая коэффициенты при sin2x и cos2x справа и слева, получим систему для определения коэффициентов c и d:

Откуда . Поэтому . Согласно принципу суперпозиции, частное решение первоначального уравнения имеет вид:

а его общее решение определяется функцией:

Чтобы решить задачу Коши, определим значения произвольных постоянных в общем решении. Для этого в решение и его производную подставим x=0. Используя начальные условия , получим:

откуда . Значит решение поставленной задачи Коши есть

Линейное неоднородное уравнение (1) с любой правой частью можно решить методом вариации постоянных. Пусть найдено общее решение соответствующего линейного однородного уравнения. Тогда решения уравнения (1) ищется в виде

Функции определяются из системы

Пример 3. Решить уравнение .

Решение.

Исходное уравнение есть линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение . Характеристическое уравнение для данного однородного уравнения есть , решениями которого являются . Тогда общим решением однородного уравнения будет функция . Тогда решение заданного уравнения будем искать в виде

Функции определяются из системы

Решая систему, находим

Тогда функция

определяет общее решение исходного уравнения.

Рассмотрим дифференциальные уравнения, сводящиеся к линейным уравнения с постоянными коэффициентами.

1. Уравнение Эйлера. Это уравнение вида

где . Заменой (при ) уравнение сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. На практике решение уравнения Эйлера ищут в виде . Для нахождения r получают характеристическое уравнение. Простому корню характеристического уравнения соответствует решение , а m - кратному корню - m линейно независимых решений вида . Если коэффициенты уравнения действительны, а характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни кратности , то уравнение Эйлера имеет линейно независимых решений вида