Динамика материальной точки и тела, движущихся поступательно

• Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):

в векторной форме:

, или ,

где — геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; т — масса; — ускорение; — импульс; N — число сил, действующих на точку;

в координатной форме (скалярной):

, ,

или

, , ,

где под знаком суммы стоят проекции сил , на соответствующие оси координат.

Сила гравитационного взаимодействия:

,

где G — гравитационная постоянная; m ₁ и m ₂ — массывзаимодействующих тел, рассматриваемые как материальные точки; r — расстояние между ними.

Сила трения скольжения:

,

где — коэффициент трения скольжения; N — сила нормального давления.

• Сила упругости:

,

где k — коэффициент упругости (жесткость в случае пружины);

— абсолютная деформация.

• Координаты центра масс системы материальных точек:

, , ,

где m_i — масса i -й материальной точки; x_i, y_i;,z_i; — ее координаты.

• Закон сохранения импульса:

или ,

где N — число материальных точек (или тел), входящих в систему.

• Работа, совершаемая постоянной силой:

или ,

где — угол между направлениями векторов силы и перемещения .

• Работа, совершаемая переменной силой:

,

где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемой L.

• Средняя мощность за интервал времени :

.

• Мгновенная мощность:

или ,

где — работа, совершаемая за промежуток времени dt.

• Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно:

или .

• Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением

или ,

где — единичные векторы (орты). В частном случае, когдаполе сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное),

.

• Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины)

.

• Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами m ₁, и т ₂, находящихся на расстоянии r друг от друга:

.

• Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

,

где h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии , где R — радиус Земли.

• Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде:

.