double arrow
Банк задач для самостоятельной работы. В задачах 1 – 4 проверить, что следующие множества являются линейными векторными пространствами

В задачах 1 – 4 проверить, что следующие множества являются линейными векторными пространствами.

1. Множество R3 всех геометрических векторов.

2. Множество Rn всех арифметических n-компонентных векторов = (х1, x2, …, xn).

3. Множество Pn всех многочленов

P (t) = an-1 tn-1 + … + a1 t + a0

степени £ n – 1 с естественным образом введенными операциями сложения многочленов и умножения их на число.

4. Множество Мm, n всех матриц размерности m x n.

В задачах 5 – 9 выяснить, являются ли следующие множества линейными векторными пространствами:

5. Множество R1 всех геометрических векторов, коллинеарных фиксированной прямой.

6. Множество R2 всех геометрических векторов, исходящих из начала координат, концы которых лежат на фиксированной прямой у = kx + b.

7. Множество всех геометрических векторов, удовлетворяющих условию | | > a, где а > 0 – фиксированное число.

8. Множество всех сходящихся последовательностей.

9. Множество всех функций, интегрируемых на отрезке

[a, b].

Ответ. 5) да; 6) да, если b= 0; нет, если b ¹ 0; 7) нет;

8) да; 9) да.

В задачах 10 – 12 в произвольном пространстве Ln векторы , , …, и заданы своими координатами в некотором базисе В. Доказать, что система В¢ = ( , , …, ) – базис, и найти координаты вектора в базисе В¢.

10. = + 2 , = , = 5 + 6 .

11. = + + , = + + 2 , = + 2 + 3 ,

= 6 + 3 + 14 .

12. = 2 + - 3 , = 3 + 2 - 5 , = - + ,

= 6 + 2 - 7 .

Ответ. 10) Х¢ = ; 11) Х¢ = ; 12) Х¢ = .

В задачах 13 – 14 даны два линейных преобразования. Найти матрицу линейного преобразования, выражающего вектор через вектор :




13. ,

14. ,

Ответ. 13) , 14) .

Пусть В = ( , ) и В¢ = ( ¢, ¢) – прямоугольные базисы в R2. В задачах 15 – 20 найти матрицу перехода ТВ®В¢ (матрицу линейного преобразования).

15. Базис В¢ получен изменением на противоположное направление всех базисных ортов В.

16. Базис В¢ получен перестановкой базисных ортов В.

17. Базис В¢ получен растяжением вектора в k раз.

18. Базис В¢ получен растяжением базисных ортов В в k раз.

19. Базис В¢ получен зеркальным отображением от вектора .

20. Базис В¢ получен поворотом базиса В на угол a

(a ¹ 0, a ¹ p).

Ответ. 15) , 16) , 17) ,

18) , 19) , 20) .






Сейчас читают про: