2015-01-07
2297
В задачах 1 – 4 проверить, что следующие множества являются линейными векторными пространствами.
1. Множество R3 всех геометрических векторов.
2. Множество Rn всех арифметических n-компонентных векторов 
= (х1, x2, …, xn).
3. Множество Pn всех многочленов
P (t) = a n-1 tn-1 + … + a 1 t + a 0
степени £ n – 1 с естественным образом введенными операциями сложения многочленов и умножения их на число.
4. Множество Мm, n всех матриц размерности m x n.
В задачах 5 – 9 выяснить, являются ли следующие множества линейными векторными пространствами:
5. Множество R1 всех геометрических векторов, коллинеарных фиксированной прямой.
6. Множество R2 всех геометрических векторов, исходящих из начала координат, концы которых лежат на фиксированной прямой у = kx + b.
7. Множество всех геометрических векторов, удовлетворяющих условию | | > a, где а > 0 – фиксированное число.
8. Множество всех сходящихся последовательностей.
9. Множество всех функций, интегрируемых на отрезке
[ a, b].
Ответ. 5) да; 6) да, если b= 0; нет, если b ¹ 0; 7) нет;
8) да; 9) да.
В задачах 10 – 12 в произвольном пространстве Ln векторы 
, 
, …, 
и заданы своими координатами в некотором базисе В. Доказать, что система В¢ = (, , …, ) – базис, и найти координаты вектора в базисе В¢.
10. = 
+ 2 
, = , = 5 + 6 .
11. = + + 
, = + + 2 , 
= + 2 + 3 ,
= 6 + 3 + 14 .
12. = 2 + - 3 , = 3 + 2 - 5 , = - + ,
= 6 + 2 - 7 .
Ответ. 10) Х¢ = 
; 11) Х¢ = 
; 12) Х¢ = 
.
В задачах 13 – 14 даны два линейных преобразования. Найти матрицу линейного преобразования, выражающего вектор 
через вектор 
:
13. 
, 
14. 
, 
Ответ. 13) 
, 14) 
.
Пусть В = (, ) и В¢ = ( ¢, ¢) – прямоугольные базисы в R2. В задачах 15 – 20 найти матрицу перехода ТВ®В¢ (матрицу линейного преобразования).
15. Базис В¢ получен изменением на противоположное направление всех базисных ортов В.
16. Базис В¢ получен перестановкой базисных ортов В.
17. Базис В¢ получен растяжением вектора в k раз.
18. Базис В¢ получен растяжением базисных ортов В в k раз.
19. Базис В¢ получен зеркальным отображением от вектора .
20. Базис В¢ получен поворотом базиса В на угол a
(a ¹ 0, a ¹ p).
Ответ. 15) 
, 16) 
, 17) 
,
18) 
, 19) 
, 20) 
.
