Числовые характеристики распределения выборки

13 14 15 16 17 18 19

Размах выборки, мода и медиана

Размах выборки (см. п.2.1.2.2.): .

Определение же моды и медианы распределения удобно провести в зависимости от типа группировки выборочных данных.

Случай безинтервальной группировки

Модой называется варианта с наибольшей частотой.

Медиана – варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1. Для вариационного ряда , , – любая из вариант, =5.

Пример 2. Для вариационного ряда , , =1, а в качестве удобно принять среднее арифметическое выделенных вариант: .

Пример 3. Для статистического ряда

R =19–15=4, =18, =17.

Случай интервальной группировки

где – левая граница интервала, имеющего наибольшую интервальную частоту;

– шаг (длина интервала группировки), ;

– наибольшая интервальная частота;

– интервальная частота интервала, расположенного слева от интервала с наибольшей частотой;

– интервальная часть интервала, лежащего справа от интервала с наибольшей частотой.

Формула для нахождения медианы распределения имеет вид

где – левая граница интервала, содержащего медиану;

h – шаг;

n – объем выборки;

– интервальная частота интервала, содержащего медиану;

– интервальные частоты интервалов, расположенных слева от интервала, содержащего медиану.

Пример 4. Для интервального статистического ряда

	14-23	23-32	32-41	41-50	50-59	59-68	68-77

n =50, R = 77–14 =63, h =9, m =7.

;

Выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочный коэффициент вариации

Выборочная средняя в зависимости от типа группировки выборочных данных определяется по одной из следующих формул:

(в случае безинтервальной группировки)

или

(в случае интервальной группировки).

Выборочная средняя характеризует центр распределения, около которого группируются все варианты.

Выборочная дисперсия определяется по формуле

которая конкретизируется в зависимости от типа группировки:

· в случае безинтервальной группировки

;

· в случае интервальной группировки

Выборочная дисперсия служит характеристикой рассеяния вариационного ряда.

Выборочное среднее квадратическое отклонение определяется по формуле

и часто является более удобной характеристикой рассеяния вариационного ряда, так как имеет размерность самой случайной переменной (признака) C.

Еще одна числовая характеристика рассеяния вариационного ряда – выборочный коэффициент вариации , который определяется по формуле

Эта характеристика является безразмерной величиной (она выражается в процентах) и поэтому ее удобно использовать для сравнения степени рассеяния двух разнородных вариационных рядов.

Метод условных вариант для практического расчета

С целью существенного упрощения "ручных" вычислений выборочной средней и выборочной дисперсии применим так называемый метод условных вариант.

Случай безинтервальной группировки

От исходных вариант перейдем к "условным вариантам" , которые связаны между собой соотношением

где с – "ложный нуль", в качестве которого удобно принять медиану (или варианту, ближайшую к медиане): .

Интересующие нас характеристики вычисляются по формулам:

, ,

где , .

Случай интервальной группировки

Здесь переход к условным вариантам осуществляется по формуле

где в качестве "ложного нуля" принимается центр того интервала, который содержит медиану: .

Интересующие же нас числовые характеристики находятся по формулам: , ,

где , .

Пример 1. Дан статистический ряд

Требуется найти .

Применим метод условных вариант для случая безинтервальной группировки при . Вычисления организуем в форме следующей расчетной таблицы:


	–2	–2
	–1	–4



–	–
–	–

, , .

Тогда ;

Пример 2. Дан интервальный статистический ряд

	14 – 23	23 – 32	32 – 41	41 – 50	50 – 59	59 – 68	68 – 77

Требуется найти .

Применим метод условных вариант для случая интервальной группировки при

Вычисления организуем в форме следующей расчетной таблицы:


	14–23	18,5	–3	–6
	23–32	27,5	–2	–6
	32–41	36,5	–1	–6
	41–50	45,5
	50–59	54,5
	59–68	63,5
	68–77	72,5
	–	–	–
å¤ n	–	–	–	0,38	2,18

, , .

Тогда ; .

Квантили распределения и их нахождение

Квантили теоретического распределения

Квантилью порядка р, или р-квантилью, (0< p <1) непрерывной случайной величины Cназывается такое ее возможное значение , для которого выполняется равенство

Здесь – функция распределения случайной величины C.

Графическая интерпретация данного определения представлена на рис. 7.

Рисунок 7 - Графическое определение p -квантили

Частными случаями квантилей являются:

· квартили – квантили (соответственно 1-я, 2-я и 3-я квартили);

· децили – квантили

· процентили – квантили .

Квартили порядков 0,25 и 0,75 называются также соответственно нижней и верхней квартилями, разность – межквартильным размахом, квартиль совпадает с медианой . Аналогичная терминология употребляется и по отношению к децилям и процентилям.

Для стандартных в математической статистике законов распределения, в частности для стандартного нормального распределения (0;1), имеются специальные таблицы квантилей.

Выборочные квантили и их практическое нахождение

Выборочной квантилью порядка р (0<

<1) называется абсцисса

точки пересечения кумулятивной кривой с прямой

(рис.8).

Рисунок 8 - Графическое определение выборочной квантили порядка p

Это определение дает и способ практического нахождения выборочных квантилей. Однако графическое отыскание квантилей сопровождается погрешностями построений графиков. Во избежание этого целесообразно использовать следующий способ уточненного расчета квантилей, основанный на методе линейной интерполяции.

Рассмотрим соответствующее заданному порядку искомой квантили звено кумулятивной кривой (рис.9).