Методические указания по темам курса

Тема 1. Статистическое наблюдение, сводка и группировка. Абсолютные и относительные показатели

Статистическое наблюдение – сбор данных об изучаемых явлениях. Объектом наблюдения являются явления или совокупность явлений, информацию о которых собирают в процессе наблюдения.

Статистическая сводка – приведение собранной информации к виду, удобному для проведения анализа. В статистической сводке строятся ряды распределения. Ряд распределения – группировка, представляющая собой распределение, численность единиц, совокупность по значению какого-либо признака. Ряды распределения подразделяются на атрибутивные и вариационные. Различают дискретные и интервальные вариационные ряды. При построении вариационного ряда с равными интервалами определяют число групп и величину интервала. Оптимальное число групп определяется по формуле Стерджесса:

,

где N – число единиц совокупности.

Величина равного интервала рассчитывается по формуле:

,

где X _maxи X _min – максимальное и минимальное значение признака.

Различают два вида обобщающих показателей: абсолютные и относительные.

Абсолютные величины – именованные числа, имеющие определенную размеренность и единицы измерения. Они характеризуют показатели на момент времени или за период. Применяются натуральные, условно-натуральные, денежные и трудовые единицы измерения.

Относительные величины характеризуют количественное соотношение сравниваемых абсолютных величин. Числитель – сравниваемая величина, знаменатель – база сравнения.

Различают следующие виды относительных показателей:

1. Планового задания и выполнения плана.

2. Динамики.

3. Структуры.

4. Интенсивности.

5. Координации.

6. Сравнения.

Тема 2. Средние величины и показатели вариации

В статистике применяются различные степенные средние: арифметическая, гармоническая, квадратическая, геометрическая и т. п., а также структурные средние: мода и медиана.

Степенные средние исчисляются в двух формах: простой и взвешенной. Например, средняя арифметическая простая:

,

где x – значение признака;

n – число единиц признака.

Средняя арифметическая взвешенная:

,

где f – частота (вес группы);

Х – одинаковые значения признака, объединенные в группы.

Средняя гармоническая взвешенная:

,

где M = X · f.

Мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности.

Для интервальных вариационных рядов распределения мода рассчитывается по формуле:

,

где – нижняя граница модального интервала;

– величина модального интервала;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

Медиана расположена в середине упорядоченного ряда, делящего его на две равные части.

Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по формуле:

– нижняя граница медианного интервала;

,

где X_me

– величина медианного интервала;

j_me

	– сумма частот ряда;

– сумма накопленных частот ряда, предшествующих медианному интервалу;

– частота медианного интервала.

Показатели вариации используются для измерения степени колеблемости отдельных значений признака от средней. Основные обобщающие показатели вариации: дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Дисперсия – средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных знаний приказа от их средней арифметической. Дисперсия вычисляется по формуле средней арифметической простой или взвешенной:

(простая);

(взвешенная).

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный их дисперсии и равно:

(простое);

(взвешенное).

Коэффициент вариации определяется по формуле:

, %.

Чем больше величина коэффициента вариации, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по составу.

Тема 3. Выборочное наблюдение

Выборочное наблюдение определяет характеристики генеральной совокупности. Характеристики выборочной совокупности отличаются от генеральных характеристик на величину ошибки выборки.

Собственно-случайная и механическая выборки.

При случайном повторном отборе предельная ошибка выборки для средней и для доли рассчитывается по формулам:

,

,

– коэффициент доверия, который определяется по таблице значений интегральной функции Лапласа при заданной вероятности;

– дисперсия выборочной совокупности;

где

n

– численность выборки;

t

При бесповторном случайном и механическом отборе предельная ошибка выборки определяется по формулам:

,

,

где N – численность генеральной совокупности.

При случайно повторном отборе численность выборки определяется по формуле:

.

При случайном бесповторном и механическом отборе численность выборки вычисляется по формуле:

.

Тема 4. Ряды динамики

Ряды динамики характеризуют изменение уровней показателя во времени. В каждом ряду динамики имеются два основных элемента: время t и конкретное значение показателя (уровень ряда) Y.

Анализ интенсивности изменения во времени осуществляется с помощью показателей, получаемых в результате сравнения уровней. К таким показателям относятся: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста.

Система средних показателей включает средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста.

Средний уровень моментного ряда динамики с равноотстоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической моментного ряда:

,

где y ₁, … y_n – - уровни периода, за которые делается расчет;

n – число уровней;

n – 1 – длительность периода времени.

Средний уровень моментных рядов с неравностоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической взвешенной:

,

где Y_i,Y_i+1 – уровни рядов динамики;

t – интервал времени между смежными уровнями.

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления. Ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания. Каждое значение временного ряда может состоять из следующих составляющих: тренда, циклических сезонных и случайных колебаний.

Тренд – это общая направленность изменений определенных значений, взятых на отрезке времени.

Циклические колебания – это колебания относительно линии тренда для периодов свыше одного года.

Сезонные колебания показывают периодичность колебаний на протяжении года или более.

Случайные колебания представляют собой случайные элементы, которые невозможно предугадать.

Применение метода регрессии временных рядов. При этом фактические уровни заменяются уровнями, вычисленными на основе определенной кривой. Изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция времени:

.

Для аналитического выравнивания временного ряда наиболее часто используются следующие виды трендовых моделей:

1. Линейная функция.

2. Экспотенциальная функция.

3. Гиперболическая функция.

Метод аналитического выравнивания ряда динамики, выполняемый по уравнению прямой:

,

где – значения выровненного ряда;

b_o и b₁ – параметры прямой;

t – показатель времени.

Для определения параметров b_o и b₁ решается следующая система нормальных уравнений:

,

где Y – фактические уровни ряда динамики;

n – число членов ряда.

Прогноз на будущее определяется по уравнению прямой.

Экспотенциальное сглаживание ряда динамики

Каждое сглаженное значение рассчитывается путем сочетания предыдущего сглаженного значения и текущего значения временного ряда. В этом случае текущее значение временного ряда взвешивается с учетом сглаживающей константы.

Расчеты производятся по следующей формуле:

,

где S_t – текущее сглаженное значение;

X_t – текущее значение временного ряда;

S_{t -1} – предыдущее сглаженное значение;

α – сглаживающая константа, которая обычно равна 0,1 или 0,3

Прогноз на будущее производится по указанной выше формуле. Более сложная форма метода экспотенциального сглаживания заключается в том, что временной ряд сглаживается с помощью взвешенной скользящей средней, в которой веса распределяются по экспотенциальному закону. Такая взвешенная скользящая средняя характеризует значения динамического ряда в конце интервала сглаживания, т. е. является характеристикой последних уровней ряда. Экспотенциальная средняя первого порядка:

– экспотенциальная средняя первого порядка;

,

где

α – коэффициент сглаживания;

– впереди идущий показатель

Экспотенциальная средняя K -го порядка:

– экспотенциальная средняя впереди идущего K -го порядка;

где

Коэффициенты полиномов, используемых для прогнозирования, для линейной модели имеют следующий вид:

,

	– экспотенциальная средняя первого и второго порядка;

где и

α – коэффициент сглаживания;

Выровненные значения показателей будут равны:

,

где t – показатель времени, равный единице.

Прогнозную оценку производим по следующим формулам и согласно схеме:

1. Определяем скользящие средние:

,

2. Коэффициенты полиномов:

,

3. Подставляем значения параметров a_o и a₁ в уравнение прямой:

Сезонные колебания. Используются методы сложения и умножения. Метод сложения используется в случаях, когда сезонные составляющие относительно постоянные по всему анализируемому временному периоду. При этом значение временного ряда можно представить как сумму тренда и сезонной составляющей, по следующей формуле:

,

где X_i – фактическое значение в периоде;

Ti – тренд в периоде;

Si – сезонные отклонения в периоде.

Метод умножения используется в тех случаях, когда колебания показателя увеличиваются по временному периоду и определяется по следующей формуле:

.

Чтобы спрогнозировать в следующем периоде времени, определяют тренд, например, по скользящим средним и прибавляют значения сезонных колебаний при методе сложения, а при методе умножения умножают на значения сезонной составляющей.

Случайные изменения (колебания) показателей встречаются в большинстве реальных временных рядов. Определение степени и величины этих случайных колебаний помогают в установлении точности примененной модели прогнозирования. Такие случайные колебания можно рассматривать в качестве ошибок прогноза. Эти ошибки нужно выявлять путем сопоставления прогнозной модели с реально полученными показателями.

При оценке эффективности модели прогнозирования используются статистические показатели, в частности средняя ошибка и среднеквадратическая ошибка.

Тема 5. Индексы

Индексы – обобщающие показатели сравнения во времени и в пространстве не только однотипных (одноименных) явлений, но и совокупностей, состоящих из несоизмеримых элементов.

Динамика одноименных явлений изучается с помощью индивидуальных индексов, которые представляют собой известные относительные величины сравнения, динамики или выполнения плана:

, , ,

где q ₁ и q _o – количество какого-либо продукта в натуральном выражении в текущем и базисном периодах;

p ₁ и p _o – цены единицы продукции в текущем и базисном периодах.

Изменения совокупностей, состоящих из элементов непосредственно несопоставимых, изучают с помощью групповых или общих индексов. Они подразделяются на агрегатные индексы и средневзвешенные из индивидуальных индексов.

Формулы агрегатных индексов:

1. Физического объема:

2. Индексы цен:

3. Товарооборота:

Формулы средних индексов из индивидуальных:

1. Средний арифметический индекс физического объема:

2. Средний гармонический индекс цен:

При определении индексов можно использовать систему взаимосвязанных индексов товарооборота:

.

Тема 6. Статистическое изучения связи между явлениями

При статистическом исследовании корреляционных связей одной из основных задач является определение их формы, т. е. построения моделей связи.

Если результативный признак «Y» c увеличением факторного признака «X» равномерно возрастает или убывает, то такая зависимость является линейной и выражается уравнением прямой, т. е.

,

где X – индивидуальное значение признака;

a_o и a₁ – параметры уравнения прямой;

Y_x – теоретическое значение результативного признака.

Параметры a_o и a₁ определяются по следующим формулам:

,

,

где n – число сопоставимых пар.

Если форма связи отвечает уравнению , то для изучения тесноты связи применяется линейный коэффициент корреляции «r»:

.

При непрямолинейной форме для измерения тесноты связи определяется индекс корреляции.

Непараметрические показатели связи позволяют измерить интенсивность связи как между количественными признаками, так и между качественными признаками. Это коэффициенты корреляции рангов Спирмэна, Кендэла.

При оценке связей социальных явлений используются:

1. Коэффициент ассоциации и контингенции.

2. Хи – квадрат критерия Пирсона.

3. Коэффициент взаимной сопряженности К. Пирсона и А. Чупрова.

Варианты контрольных работ.

ВАРИАНТ № 1