double arrow

Проверка статистических гипотез

Задача.

Для заданной выборки значений случайной величины и на основе результатов занятий №6 и №7: провести проверку выдвинутой гипотезы о законе распределения случайной величины с помощью критерия χ2 Пирсона. Для этого:

· вычислить значение критерия χ2набл;

· вычислить количество степеней свободы и по таблице найти значение χ2крит (уровень значимости pкрит принять равным 0.05);

· сделать вывод о соответствии выдвинутой гипотезы рассматриваемой выборке значений случайной величины.

Алгоритм проверки статистической гипотезы о законе распределения случайной величины:

· вычисляются теоретические частоты попадания случайной величины в i-ый интервал

,

где xi, xi+1 – численные значения соответственно левой и правой границы i-го интервала.

· Подсчитываем χ2набл:

 
 

· Определяем число степеней свободы r=k-1-s,

где k– число интервалов, s– число параметров эмпирического распределения, использованных при определении теоретического распределения и определяющих число связей между этими распределениями.

· По значениям уровня значимости pкрит и числа степеней свободы r из таблицы распределения χ2 находим критическое χ2крит и сравниваем с расчетным χ2набл. Если расчетная величина оказывается больше критического табличного значения (для данного уровня вероятности и соответствующего числа степеней свободы), то наблюдаемые частоты значительно отличаются от теоретических и гипотезу следует отвергнуть. В противном случае выдвинутую гипотезу принимаем. Все расчеты по данному разделу следует свести в таблицу.

Вариант А.

Проверяется гипотеза о равномерном законе распределения исследуемой случайной величины

№ интерв pi* pi (pi*-pi)2/pi
  0.092 0.083 0.001
  0.100 0.083 0.003
  0.092 0.083 0.001
  0.083 0.083 0.000
  0.075 0.083 0.001
  0.075 0.083 0.001
  0.100 0.083 0.003
  0.092 0.083 0.001
  0.108 0.083 0.008
  0.075 0.083 0.001
  0.075 0.083 0.001
  0.033 0.083 0.030
S 1.00 1.00 0.05

 
 

 
 

 
 
r=k-1-s для равномерного закона s=2 r=12-1-2=9


c2набл= 6.00    
c2крит= 16.90    
  Так как c2набл<c2крит, то выдвинутая гипотеза не противоречит экспериментальным данным  
   
         

Вариант В.

Проверяется гипотеза о показательном зоконе распределения исследуемой случайной величины

 
 

№ интерв pi* pi (pi*-pi)2/pi
  0.458 0.436 0.001
  0.275 0.244 0.004
  0.100 0.137 0.010
  0.058 0.077 0.004
  0.058 0.043 0.006
  0.025 0.024 0.000
  0.008 0.013 0.002
  0.008 0.008 0.000
  0.000 0.004 0.004
  0.000 0.002 0.002
  0.000 0.001 0.001
  0.008 0.001 0.078
S 1.00 0.99 0.11

 
 

 
 
r-число степеней свободы r=k-1-s для показательного закона s=1 r=12-1-1=10


c2набл= 13.54
c2крит= 18.30
Так как c2набл<c2крит, то выдвинутая гипотеза не противоречит экпериментальным данным

Вариант С

Проверяется гипотеза о нормальном зоконе распределения исследуемой случайной величины

 
 

№ интерв pi* pi (pi*-pi)2/pi
  0.008 0.008 0.000
  0.033 0.023 0.005
  0.033 0.052 0.007
  0.108 0.098 0.001
  0.150 0.147 0.000
  0.167 0.180 0.001
  0.217 0.177 0.009
  0.108 0.142 0.008
  0.092 0.092 0.000
  0.058 0.048 0.002
  0.008 0.020 0.007
  0.017 0.007 0.013
S 1.00 0.99 0.05

 
 

 
 
r=k-1-s для нормального закона s=2 r=12-1-2=9



c2набл= 6.39
c2крит= 16.90
Так как c2набл<c2крит, то выдвинутая гипотеза не противоречит экпериментальным данным

Контрольные вопрсы:

1. Мера расхождения теоретического и статистичекого распределений по критерию χ2 Пирсона.

2. Определение значения числа степеней свободы распределения χ2.

3. Схема применения критерия χ2 к оценке согласованности теоретического и статистичекого распределений.


Приложение 1.

Таблица значений функции

x                    
0.0 0.3989 0.3989 0.3989 0.3988 0.3986 0.3984 0.3982 0.3980 0.3977 0.3973
0.1 0.3970 0.3965 0.3961 0.3956 0.3951 0.3945 0.3939 0.3932 0.3925 0.3918
0.2 0.3910 0.3902 0.3894 0.3885 0.3876 0.3867 0.3857 0.3847 0.3836 0.3825
0.3 0.3814 0.3802 0.3790 0.3778 0.3765 0.3752 0.3739 0.3725 0.3712 0.3697
0.4 0.3683 0.3668 0.3653 0.3637 0.3621 0.3605 0.3589 0.3572 0.3555 0.3538
0.5 0.3521 0.3503 0.3485 0.3467 0.3448 0.3429 0.3410 0.3391 0.3372 0.3352
0.6 0.3332 0.3312 0.3292 0.3271 0.3251 0.3230 0.3209 0.3187 0.3166 0.3144
0.7 0.3123 0.3101 0.3079 0.3056 0.3034 0.3011 0.2989 0.2966 0.2943 0.2920
0.8 0.2897 0.2874 0.2850 0.2827 0.2803 0.2780 0.2756 0.2732 0.2709 0.2685
0.9 0.2661 0.2637 0.2613 0.2589 0.2565 0.2541 0.2516 0.2492 0.2468 0.2444
1.0 0.2420 0.2396 0.2371 0.2347 0.2323 0.2299 0.2275 0.2251 0.2227 0.2203
1.1 0.2179 0.2155 0.2131 0.2107 0.2083 0.2059 0.2036 0.2012 0.1989 0.1965
1.2 0.1942 0.1919 0.1895 0.1872 0.1849 0.1826 0.1804 0.1781 0.1758 0.1736
1.3 0.1714 0.1691 0.1669 0.1647 0.1626 0.1604 0.1582 0.1561 0.1539 0.1518
1.4 0.1497 0.1476 0.1456 0.1435 0.1415 0.1394 0.1374 0.1354 0.1334 0.1315
1.5 0.1295 0.1276 0.1257 0.1238 0.1219 0.1200 0.1182 0.1163 0.1145 0.1127
1.6 0.1109 0.1092 0.1074 0.1057 0.1040 0.1023 0.1006 0.0989 0.0973 0.0957
1.7 0.0940 0.0925 0.0909 0.0893 0.0878 0.0863 0.0848 0.0833 0.0818 0.0804
1.8 0.0790 0.0775 0.0761 0.0748 0.0734 0.0721 0.0707 0.0694 0.0681 0.0669
1.9 0.0656 0.0644 0.0632 0.0620 0.0608 0.0596 0.0584 0.0573 0.0562 0.0551
2.0 0.0540 0.0529 0.0519 0.0508 0.0498 0.0488 0.0478 0.0468 0.0459 0.0449
2.1 0.0440 0.0431 0.0422 0.0413 0.0404 0.0396 0.0387 0.0379 0.0371 0.0363
2.2 0.0355 0.0347 0.0339 0.0332 0.0325 0.0317 0.0310 0.0303 0.0297 0.0290
2.3 0.0283 0.0277 0.0270 0.0264 0.0258 0.0252 0.0246 0.0241 0.0235 0.0229
2.4 0.0224 0.0219 0.0213 0.0208 0.0203 0.0198 0.0194 0.0189 0.0184 0.0180
2.5 0.0175 0.0171 0.0167 0.0163 0.0158 0.0154 0.0151 0.0147 0.0143 0.0139
2.6 0.0136 0.0132 0.0129 0.0126 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 0.0107
2.7 0.0104 0.0101 0.0099 0.0096 0.0093 0.0091 0.0088 0.0086 0.0084 0.0081
2.8 0.0079 0.0077 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0067 0.0065 0.0063 0.0061
2.9 0.0060 0.0058 0.0056 0.0055 0.0053 0.0051 0.0050 0.0048 0.0047 0.0046
3.0 0.0044 0.0043 0.0042 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 0.0035 0.0034
3.1 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 0.0025 0.0025
3.2 0.0024 0.0023 0.0022 0.0022 0.0021 0.0020 0.0020 0.0019 0.0018 0.0018
3.3 0.0017 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 0.0013 0.0013
3.4 0.0012 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 0.0010 0.0009 0.0009
3.5 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 0.0007 0.0007 0.0006
3.6 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004
3.7 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003
3.8 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002
3.9 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001

Приложение 2.

Таблица значений функции

x                    
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441
1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545
1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633
1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890
2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916
2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974
2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981
2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986
3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990
3.1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993
3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995
3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997
3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998
3.5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998
3.6 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999
3.7 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999
3.8 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999
3.9 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000

Приложение 3.

Критические точки распределения χ2.

Число степеней свободы r Уровень значимости pкрит
0.1 0.05 0.01
  2.71 3.84 6.63
  4.61 5.99 9.21
  6.25 7.81 11.3
  7.78 9.49 13.3
  9.24 11.1 15.1
  10.6 12.6 16.8
  12.0 14.1 18.5
  13.4 15.5 20.1
  14.7 16.9 21.7
  16.0 18.3 23.2
  17.3 19.7 24.7
  18.5 21.0 26.2
  19.8 22.4 27.7
  21.1 23.7 29.1
  22.3 25.0 30.6
  23.5 26.3 32.0
  24.8 27.6 33.4
  26.0 28.9 34.8
  27.2 30.1 36.2
  28.4 31.4 37.6
  29.6 32.7 38.9
  30.8 33.9 40.3
  32.0 35.2 41.6
  33.2 36.4 43.0
  34.4 37.7 44.3
  40.3 43.8 50.9
  46.1 49.8 57.3
  51.8 55.8 63.7

Список литературы

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения.–М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.– 1988.­– 480 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь. 1983. – 416 с., ил.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебн. пособие для втузов. М., Высш. школа, 1977. 479 с., ил.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учебн. пособие для втузов. - М., Высш. школа. - 400 с.

5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. -М., Наука. -575 с.

6. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. Задачи и упражнения. -М., Наука. - 365 с.

7. Гнеденко В.В., Ханчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. -М., Наука. 1988. - 160 с.

8. Филлер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Пер. с англ. -М., Мир. -1984.

9. Жалдак М.И., Квитко А.Н. Теория вероятностей с элементами информатики. Практикум. Учебн. пособие. Под общ. ред. Ядренко М.И. -К., Вища шк., 1989. -263 с.

10. Коваленкко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебн. пособие для втузов. -М., Высшая шк.

11. Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей. Учебн. пособие для втузов. -М., Наука. 1989.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: