Задача 1.
В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Построить ряд распределения и многоугольник распределения для дискретной случайной величины Х – число нестандартных деталей среди четырех отобранных.
Решение.
По условиям задачи случайная величина Х может принимать значения 0,1,2,3,4. Поэтому для построения ряда распределения необходимо вычислить вероятности P{X=i} (i=0,1,2,3,4).
В партии 10% нестандартных деталей, значит, вероятность выбора нестандартной детали можно принять равной 0.1. Будем считать эту вероятность постоянной при выборе каждой детали и, следовательно, проводимые нами опыты являются независимыми. Тогда для определения искомых вероятностей P{X=i} (i=0,1,2,3,4) мы можем воспользоваться формулой Бернулли.
P{X=i}=P4(i) P4(i)=C4ipi(1-p)4-i p=0.1 1-p=0.9
P4(0)=C40(0.1)0(0.9)4=0.6561
P4(0)=C41(0.1)1(0.9)3=0.2916
P4(0)=C42(0.1)2(0.9)2=0.0486
P4(0)=C43(0.1)3(0.9)1=0.0036
P4(0)=C44(0.1)4(0.9)0=0.0001
Ряд распределения:
Х | |||||
Р | 0.6561 | 0.2916 | 0.0486 | 0.0036 | 0.0001 |
Многоугольник распределения:
Задача 2.
В партии из шести деталей четыре детали стандартные. Наудачу отобраны три детали. Рассматривается случайная величина Х – число стандартных деталей среди отобранных. Для этой случайной величины построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения, а также вычислить: mx, Dx, σx, P{1≤X<3}.
Решение.
По условиям задачи случайная величина Х может принимать значения 1,2,3. Поэтому для построения ряда распределения необходимо вычислить вероятности P{X=i} (i=1,2,3).
Для вычисления этих вероятностей используем формулу непосредственного подсчета вероятности: P=(m/n).
Элементарным событием для данной задачи является любое сочетание трех деталей, выбранных из имеющихся шести. Поэтому:
n=C63=[6!/(3! . 3!)]=20
Число сочетаний благоприятствующих тому,чтобы в выборке из трех деталей будет одна стандартная определяется следующим образом:
m=C41C22=4 . 1=4
P{X=1}=4/20=0.2
Для X=2: m=C42C21=[4!/(2! . 2!)] . 2=6 . 2=12 P{X=2}=12/20=0.6
Для X=3: m=C43C20=[4!/(3! . 1!)] . 1=4 P{X=3}=4/20=0.2
Ряд распределения:
Х | |||
Р | 0.2 | 0.6 | 0.2 |
Многоугольник распределения:
Построим интегральную функцию распределения F(x)=P{X<x}.
x≤1 F(x)=P{X<x}=0
1<x≤2 F(x)=P{X<x}=P{X=1}=0.2
2<x≤3 F(x)=P{X<x}=P{X=1}+P{X=2}=0.2+0.6=0.8
x>3 F(x)=P{X<x}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=0.2+0.6+0.2=1
0 x≤1
F(x) = 0.2 1<x≤2
0.8 2<x≤3
1 x>3
График интегральной функции распределения имеет вид:
mx=1 . 0.2+2 . 0.6+3 . 0.2=2
Dx=α2-mx2 α2=
α2=12.0.2+22.0.6+32.0.2=0.2+2.4+1.8=4.4
Dx=4.4-22=0.4
σx=√(Dx) σx=√(0.4)=0.6325
P{1≤X<3}=F(3) – F(1) P{1≤X<3}=1 – 0.2 = 0.8
Контрольные вопросы:
1. Определение дискретной случайной величины.
2. Определение закона распределения случайной величины.
3. Ряд распределения.
4. Многоугольник распределения.
5. Интегральная функция распределения случайной величины. Определение и свойства.
6. Характеристики положения случайной величины на числовой оси (математическое ожидание, мода, медиана).
7. Начальные и центральные моменты случайных величин. Свойства моментов случайных величин.
8. Биномиальный закон распределения случайных величин.